从调制方式的角度上来看，FSK 和 PAM/PSK/QAM 有着不太一样的方式。和 M 越大性能越差的几个调制方式相比，FSK 的相关性能随着 M 的增加而增加（但是，代价是什么呢？）。

# 正交 FSK 的理想接收

我们考虑一个带限的$M$ 点正交信号星座：

$$\mathcal{S}=\{\textbf{s}_1=[\mathcal{E},0,...,0]^T,\textbf{s}_2=[0,\mathcal{E},...,0]^T,...,\textbf{M}=[0,0,...,\mathcal{E}]^T\}$$

依据需要发送的数据，选择对应的信号波形来发送。不失一般性地，我们考虑发送信号符号$\textbf{s}_1$，在经过了 AWGN 信道之后，信号的每个分量上叠加了噪声带来的影响：

$$\begin{cases} &r_1=\sqrt{\mathcal{E}}+n_1\\ &r_2=n_2\\ &...\\ &r_M=n_M \end{cases}$$

考虑发送信号等概率的条件，MAP/ML 接收机判决

$$\hat{m}=\argmax_{1\le m\le M}\textbf{r}^T\textbf{s}_m$$

也就是发送了$\textbf{s}_1$ 之后正确的决策是：

$$\langle\textbf{r},\textbf{s}_1\rangle =\mathcal{E}+\sqrt{\mathcal{E}}n_1>\langle\textbf{r},\textbf{s}_m\rangle=\sqrt{\mathcal{E}}n_m,\ 2\le m\le M$$

也就是

$$Pr\{Correct|\textbf{s}_1\}=Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}$$

考虑到 FSK 信号对称性，有

$$Pr\{Correct\}=Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}$$

# 对 FSK 性能的分析

我们考虑 FSK 信号的接收正确率

$$P_c=\underbrace{Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}}_{P(B|A)}$$

根据贝叶斯公式，有

$$P_c=\int_{-\infty}^{\infty}\underbrace{Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M|n_1\}}_{P(A|B)}\underbrace{f(n_1)}_{P(B)}{\rm d}n_1$$

注意到各个子事件的概率是一致且独立的，因而有

$$P_c=\int_{-\infty}^{\infty}(Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2|n_1\})^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1$$

因为噪声满足 Gaussian 分布，我们能得到

$$\begin{aligned} P_c=&\int_{-\infty}^{\infty}[Q(\frac{0-(n_1+\sqrt{\mathcal{E}})}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}[1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1 \end{aligned}$$

通过正确率$P_c$，我们能够得到错误率

$$\begin{aligned} P_e&=1-P_c\\ &=1-\int_{-\infty}^{\infty}[1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1 \end{aligned}$$

利用 Gaussian 噪声的概率分布函数，我们能够得到

$$P_e=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}}))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{n_1^2}{N_0}}{\rm d}n_1$$

现在的形式有些过于复杂了，我们考虑进行一些换元，不妨令

$$x=\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}}$$

也就是使用$x$ 替代掉 Q 函数的参数，此时由于积分换元的性质，积分内乘以一个${\rm d}n_1/{\rm d}x$ 也就是$\sqrt{\frac{N_0}{2}}$，同时$e$ 指数上的$n_1$ 采用$x$ 来替代，得到：

$$\begin{aligned} P_e&=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\sqrt{\frac{N_0}{2}}\exp(-\frac{(\sqrt{\frac{N_0}{2}}x-\sqrt{\mathcal{E}})^2}{N_0}){\rm d}s\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{\frac{N_0}{2}x^2+\mathcal{E}-2\sqrt{\frac{N_0}{2}\mathcal{E}}}{N_0}){\rm d}n_1\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{\mathcal{E}}{N_0}-2\sqrt{\frac{\mathcal{E}}{2N_0}}){\rm d}x \end{aligned}$$

考虑通信常用的变量表示

$$\gamma_b=\frac{\mathcal{E}_b}{N_0},\ \mathcal{E}_b=\mathcal{E}/k,\ k=\log_2M$$

代换变量

$$\begin{aligned} P_e&=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{\mathcal{E}}{N_0}-2\sqrt{\frac{\mathcal{E}}{2N_0}}){\rm d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{k\mathcal{E}_b}{N_0}-2\sqrt{\frac{k\mathcal{E}_b}{2N_0}}){\rm d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+k\gamma_b-2\sqrt{\frac{k\gamma_b}{2}}){\rm d}x \end{aligned}$$

对指数部分配方，得到

$$P_e=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x$$

我们注意到 FSK 的对称性，显然，FSK 每个传输值出错的概率都是一致的。设传输导致的错误比特数量为$e$，我们计算比特错误率

$$\begin{aligned} P_b&=\frac{\mathbb{E}[e]}{k}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{e=1}^{k}e\begin{pmatrix}k\\e\end{pmatrix}\frac{P_e}{M-1}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2^k}{2^k-1}P_e\\ &\approx\frac{1}{2}P_e \end{aligned}$$

这个错误率和符号的 labeling 无关，这和前面的介绍一致。这算是很不错的性质，毕竟我们不需要费劲设置格雷码之类的编码。

根据错误率表达式，我们显然有两种方法来降低错误率 —— 提高信噪比和增加$M$。提高信噪比已经是老生常谈的问题，我们要关注的是，增加$M$ 到底能带来什么？

开头的时候我们已经提到了，和其他的调制方式不同，FSK 增加$M$ 会带来更好的性能 —— 而代价则是需求频宽$M/(2T)$ 的增加。例如为了满足$10^{-5}$ 的错误率，2-FSK 大约需要 12dB 的$\gamma_b$，而 64-FSK 则只需要 6dB 的$\gamma_b$，也就是 16 倍的频宽换来了 6dB 的能效提升。

那么问题是，我们能做到怎么样的频宽换效能？

# 错误概率上界

早在上个世纪中叶，Shannon 证明了在 AWGN 信道下，若$\gamma_b>\log 2\approx -1.6$dB，则在无限带宽的情况下错误率可以趋近于 0，即$\lim_{M\to\infty}P_e=0$，反之则错误概率则会相当的高。

在上面计算的 FSK 错误率包含了对 Q 函数积分的形式，这难以计算的部分需要通过放缩等方法消除。我们注意到，对于$0\le u\le 1$，有

$$1-(1-u)^n\le n\cdot u$$

这可以利用在$u=0$ 处的切线性质来证明。对于 FSK 的错误率$P_e$，其中$1-[1-Q(x)]^{M-1}$ 可以被放缩为

$$1-[1-Q(x)]^{M-1}\le\begin{cases} {\color{blue}1},&x\le x_0\\ {\color{green}(M-1)Q(x)},&x>x_0 \end{cases}\le\begin{cases} {\color{blue}1},&x\le x_0\\ {\color{green}Me^{x^2/2}},&x>x_0 \end{cases}$$

在$x$ 较小时，$[1-Q(x)]^{M-1}$ 接近 0，这样整个式子的值接近于 1。对于$x>x_0$，即$[1-Q(x)]^{M-1}$ 的值几乎不能被忽略时，采用上面给出的放缩和常用的 Q 函数近似：

$$Q(x)\le\frac{1}{2}e^{-x^2/2}$$

考虑计算方便省去系数$1/2$。这个放缩也依赖于上面的分段计算，当$x$ 较小，$\frac{1}{2}e^{-x^2/2}>1$，这会带来显著的误差。

这样，错误概率上界

$$\begin{aligned} P_e=&\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&{\color{blue}\int_{-\infty}^{x_0}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ &+{\color{green}\int_{x_0}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ \le&{\color{blue}\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}+{\color{green}\int_{x_0}^{\infty}Me^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\min_{x_0>0}\{\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\} \end{aligned}$$

即求该上限的最小值。设待求部分为$f(x_0)$，即

$$f(x_0)=\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x$$

有

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_0}=&\frac{\partial}{\partial x_0}\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2}-Me^{-x_0^2/2}\cdot e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2}\\ =&(1-Me^{-x_0^2/2})e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2} \end{aligned}$$

当$1-Me^{-x_0^2/2}>0$，即$x_0>\sqrt{2\ln M}$，$f(x)$ 单调增，反之$f(x)$ 单调减，在$x_0=\sqrt{2\ln M}=\sqrt{2k\ln 2}$ 时，取得极小值。将此时的$x_0$ 带入$P_e$，得到

$$\begin{aligned} P_e\le&\int_{-\infty}^{\sqrt{2k\ln 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{\sqrt{2k\ln 2}}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&\underbrace{\int_{-\infty}^{\sqrt{2k\ln 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}_{\rm Q\ function}+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}\int_{\sqrt{2k\ln 2}}^{\infty}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi(1/2)}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{k\gamma_b/2})^2}{2(1/2)})}_{\mathcal{N}(\sqrt{k\gamma_b/2},1/2)}{\rm d}x\\ =&Q(\sqrt{2k\gamma_b}-\sqrt{2k\ln 2})+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}[1-Q(\frac{\sqrt{k\gamma_b/2}-\sqrt{2k\ln 2}}{\sqrt{1/2}})]\\ =&Q(\sqrt{2k}(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2}))+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}Q(\sqrt{k}(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})) \end{aligned}$$

针对$\gamma_b\ge\ln 2$ 和$\gamma_b\ge 4\ln 2$ 的情况，我们对上式进行放缩，有

$$P_e\le\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2}+\frac{2^ke^{-k\gamma_b/2}}{2\sqrt{2}}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2},&\ln 2<\gamma_b<4\ln 2\\[8pt] \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2}+\frac{2^ke^{-k\gamma_b/2}}{\sqrt{2}},&\gamma_b\ge 4\ln 2 \end{cases}$$

和前面类似，为了避免放缩导致的误差，在$\gamma_b\ge 4\ln 2$，令$Q(x)\le 1$ 作为上界进行放缩。整理上式，得到

$$P_e\le\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2},&\ln 2<\gamma_b<4\ln 2\\[8pt] \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-k(\gamma_b-2\ln 2)},&\gamma_b\ge 4\ln 2 \end{cases}$$

对于$\gamma_b>\ln 2$，在$k\to\infty$ 的情况下，可见$P_e$ 的上界是趋近于 0 的。