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从调制方式的角度上来看，FSK 和 PAM/PSK/QAM 有着不太一样的方式。和 M 越大性能越差的几个调制方式相比，FSK 的相关性能随着 M 的增加而增加（但是，代价是什么呢？）。

# 正交 FSK 的理想接收

我们考虑一个带限的MM 点正交信号星座：

S={s1=[E,0,...,0]T,s2=[0,E,...,0]T,...,M=[0,0,...,E]T}\mathcal{S}=\{\textbf{s}_1=[\mathcal{E},0,...,0]^T,\textbf{s}_2=[0,\mathcal{E},...,0]^T,...,\textbf{M}=[0,0,...,\mathcal{E}]^T\}

依据需要发送的数据，选择对应的信号波形来发送。不失一般性地，我们考虑发送信号符号s1\textbf{s}_1，在经过了 AWGN 信道之后，信号的每个分量上叠加了噪声带来的影响：

{r1=E+n1r2=n2...rM=nM\begin{cases} &r_1=\sqrt{\mathcal{E}}+n_1\\ &r_2=n_2\\ &...\\ &r_M=n_M \end{cases}

考虑发送信号等概率的条件，MAP/ML 接收机判决

m^=arg max⁡1≤m≤MrTsm\hat{m}=\argmax_{1\le m\le M}\textbf{r}^T\textbf{s}_m

也就是发送了s1\textbf{s}_1 之后正确的决策是：

⟨r,s1⟩=E+En1>⟨r,sm⟩=Enm, 2≤m≤M\langle\textbf{r},\textbf{s}_1\rangle =\mathcal{E}+\sqrt{\mathcal{E}}n_1>\langle\textbf{r},\textbf{s}_m\rangle=\sqrt{\mathcal{E}}n_m,\ 2\le m\le M

也就是

Pr{Correct∣s1}=Pr{E+n1>n2,...,E+n1>nM}Pr\{Correct|\textbf{s}_1\}=Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}

考虑到 FSK 信号对称性，有

Pr{Correct}=Pr{E+n1>n2,...,E+n1>nM}Pr\{Correct\}=Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}

# 对 FSK 性能的分析

我们考虑 FSK 信号的接收正确率

Pc=Pr{E+n1>n2,...,E+n1>nM}⏟P(B∣A)P_c=\underbrace{Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M\}}_{P(B|A)}

根据贝叶斯公式，有

Pc=∫−∞∞Pr{E+n1>n2,...,E+n1>nM∣n1}⏟P(A∣B)f(n1)⏟P(B)dn1P_c=\int_{-\infty}^{\infty}\underbrace{Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2,...,\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_M|n_1\}}_{P(A|B)}\underbrace{f(n_1)}_{P(B)}{\rm d}n_1

注意到各个子事件的概率是一致且独立的，因而有

Pc=∫−∞∞(Pr{E+n1>n2∣n1})M−1f(n1)dn1P_c=\int_{-\infty}^{\infty}(Pr\{\sqrt{\mathcal{E}}+n_1>n_2|n_1\})^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1

因为噪声满足 Gaussian 分布，我们能得到

Pc=∫−∞∞[Q(0−(n1+E)N02)]M−1f(n1)dn1=∫−∞∞[1−Q(n1+EN02)]M−1f(n1)dn1\begin{aligned} P_c=&\int_{-\infty}^{\infty}[Q(\frac{0-(n_1+\sqrt{\mathcal{E}})}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1\\ =&\int_{-\infty}^{\infty}[1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1 \end{aligned}

通过正确率PcP_c，我们能够得到错误率

Pe=1−Pc=1−∫−∞∞[1−Q(n1+EN02)]M−1f(n1)dn1\begin{aligned} P_e&=1-P_c\\ &=1-\int_{-\infty}^{\infty}[1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}})]^{M-1}f(n_1){\rm d}n_1 \end{aligned}

利用 Gaussian 噪声的概率分布函数，我们能够得到

Pe=∫−∞∞(1−(1−Q(n1+EN02))M−1)1πN0e−n12N0dn1P_e=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}}))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}e^{-\frac{n_1^2}{N_0}}{\rm d}n_1

现在的形式有些过于复杂了，我们考虑进行一些换元，不妨令

x=n1+EN02x=\frac{n_1+\sqrt{\mathcal{E}}}{\sqrt{\frac{N_0}{2}}}

也就是使用xx 替代掉 Q 函数的参数，此时由于积分换元的性质，积分内乘以一个dn1/dx{\rm d}n_1/{\rm d}x 也就是N02\sqrt{\frac{N_0}{2}}，同时ee 指数上的n1n_1 采用xx 来替代，得到：

Pe=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)1πN0N02exp⁡(−(N02x−E)2N0)ds=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−N02x2+E−2N02EN0)dn1=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−x22+EN0−2E2N0)dx\begin{aligned} P_e&=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\sqrt{\frac{N_0}{2}}\exp(-\frac{(\sqrt{\frac{N_0}{2}}x-\sqrt{\mathcal{E}})^2}{N_0}){\rm d}s\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{\frac{N_0}{2}x^2+\mathcal{E}-2\sqrt{\frac{N_0}{2}\mathcal{E}}}{N_0}){\rm d}n_1\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{\mathcal{E}}{N_0}-2\sqrt{\frac{\mathcal{E}}{2N_0}}){\rm d}x \end{aligned}

考虑通信常用的变量表示

γb=EbN0, Eb=E/k, k=log⁡2M\gamma_b=\frac{\mathcal{E}_b}{N_0},\ \mathcal{E}_b=\mathcal{E}/k,\ k=\log_2M

代换变量

Pe=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−x22+EN0−2E2N0)dx=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−x22+kEbN0−2kEb2N0)dx=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−x22+kγb−2kγb2)dx\begin{aligned} P_e&=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{\mathcal{E}}{N_0}-2\sqrt{\frac{\mathcal{E}}{2N_0}}){\rm d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{k\mathcal{E}_b}{N_0}-2\sqrt{\frac{k\mathcal{E}_b}{2N_0}}){\rm d}x\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2}+k\gamma_b-2\sqrt{\frac{k\gamma_b}{2}}){\rm d}x \end{aligned}

对指数部分配方，得到

Pe=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−(x−2kγb)22)dxP_e=\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x

我们注意到 FSK 的对称性，显然，FSK 每个传输值出错的概率都是一致的。设传输导致的错误比特数量为ee，我们计算比特错误率

Pb=E[e]k=1k∑e=1ke(ke)PeM−1=12⋅2k2k−1Pe≈12Pe\begin{aligned} P_b&=\frac{\mathbb{E}[e]}{k}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{e=1}^{k}e\begin{pmatrix}k\\e\end{pmatrix}\frac{P_e}{M-1}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2^k}{2^k-1}P_e\\ &\approx\frac{1}{2}P_e \end{aligned}

这个错误率和符号的 labeling 无关，这和前面的介绍一致。这算是很不错的性质，毕竟我们不需要费劲设置格雷码之类的编码。

根据错误率表达式，我们显然有两种方法来降低错误率 —— 提高信噪比和增加MM。提高信噪比已经是老生常谈的问题，我们要关注的是，增加MM 到底能带来什么？

开头的时候我们已经提到了，和其他的调制方式不同，FSK 增加MM 会带来更好的性能 —— 而代价则是需求频宽M/(2T)M/(2T) 的增加。例如为了满足10−510^{-5} 的错误率，2-FSK 大约需要 12dB 的γb\gamma_b，而 64-FSK 则只需要 6dB 的γb\gamma_b，也就是 16 倍的频宽换来了 6dB 的能效提升。

那么问题是，我们能做到怎么样的频宽换效能？

# 错误概率上界

早在上个世纪中叶，Shannon 证明了在 AWGN 信道下，若γb>log⁡2≈−1.6\gamma_b>\log 2\approx -1.6dB，则在无限带宽的情况下错误率可以趋近于 0，即lim⁡M→∞Pe=0\lim_{M\to\infty}P_e=0，反之则错误概率则会相当的高。

在上面计算的 FSK 错误率包含了对 Q 函数积分的形式，这难以计算的部分需要通过放缩等方法消除。我们注意到，对于0≤u≤10\le u\le 1，有

1−(1−u)n≤n⋅u1-(1-u)^n\le n\cdot u

这可以利用在u=0u=0 处的切线性质来证明。对于 FSK 的错误率PeP_e，其中1−[1−Q(x)]M−11-[1-Q(x)]^{M-1} 可以被放缩为

1−[1−Q(x)]M−1≤{1,x≤x0(M−1)Q(x),x>x0≤{1,x≤x0Mex2/2,x>x01-[1-Q(x)]^{M-1}\le\begin{cases} {\color{blue}1},&x\le x_0\\ {\color{green}(M-1)Q(x)},&x>x_0 \end{cases}\le\begin{cases} {\color{blue}1},&x\le x_0\\ {\color{green}Me^{x^2/2}},&x>x_0 \end{cases}

在xx 较小时，[1−Q(x)]M−1[1-Q(x)]^{M-1} 接近 0，这样整个式子的值接近于 1。对于x>x0x>x_0，即[1−Q(x)]M−1[1-Q(x)]^{M-1} 的值几乎不能被忽略时，采用上面给出的放缩和常用的 Q 函数近似：

Q(x)≤12e−x2/2Q(x)\le\frac{1}{2}e^{-x^2/2}

考虑计算方便省去系数1/21/2。这个放缩也依赖于上面的分段计算，当xx 较小，12e−x2/2>1\frac{1}{2}e^{-x^2/2}>1，这会带来显著的误差。

这样，错误概率上界

Pe=∫−∞∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx=∫−∞x0(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+∫x0∞(1−(1−Q(x))M−1)12πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx≤∫−∞x012πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+∫x0∞Me−x2/212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx=12πmin⁡x0>0{∫−∞x012πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+M∫x0∞e−x2/212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx}\begin{aligned} P_e=&\int_{-\infty}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&{\color{blue}\int_{-\infty}^{x_0}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ &+{\color{green}\int_{x_0}^{\infty}(1-(1-Q(x))^{M-1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ \le&{\color{blue}\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}+{\color{green}\int_{x_0}^{\infty}Me^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}\\ =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\min_{x_0>0}\{\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\} \end{aligned}

即求该上限的最小值。设待求部分为f(x0)f(x_0)，即

f(x0)=∫−∞x012πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+M∫x0∞e−x2/212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dxf(x_0)=\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x

有

∂f(x0)∂x0=∂∂x0∫−∞x012πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+M∫x0∞e−x2/212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx=e−(x0−2kγb)2/2−Me−x02/2⋅e−(x0−2kγb)2/2=(1−Me−x02/2)e−(x0−2kγb)2/2\begin{aligned} \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_0}=&\frac{\partial}{\partial x_0}\int_{-\infty}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{x_0}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2}-Me^{-x_0^2/2}\cdot e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2}\\ =&(1-Me^{-x_0^2/2})e^{-(x_0-\sqrt{2k\gamma_b})^2/2} \end{aligned}

当1−Me−x02/2>01-Me^{-x_0^2/2}>0，即x0>2ln⁡Mx_0>\sqrt{2\ln M}，f(x)f(x) 单调增，反之f(x)f(x) 单调减，在x0=2ln⁡M=2kln⁡2x_0=\sqrt{2\ln M}=\sqrt{2k\ln 2} 时，取得极小值。将此时的x0x_0 带入PeP_e，得到

Pe≤∫−∞2kln⁡212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx+M∫2kln⁡2∞e−x2/212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx=∫−∞2kln⁡212πexp⁡(−(x−2kγb)22)dx⏟Q function+Mexp⁡(−kγb/2)2∫2kln⁡2∞12π(1/2)exp⁡(−(x−kγb/2)22(1/2))⏟N(kγb/2,1/2)dx=Q(2kγb−2kln⁡2)+Mexp⁡(−kγb/2)2[1−Q(kγb/2−2kln⁡21/2)]=Q(2k(γb−ln⁡2))+Mexp⁡(−kγb/2)2Q(k(4ln⁡2−γb))\begin{aligned} P_e\le&\int_{-\infty}^{\sqrt{2k\ln 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x+M\int_{\sqrt{2k\ln 2}}^{\infty}e^{-x^2/2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x\\ =&\underbrace{\int_{-\infty}^{\sqrt{2k\ln 2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{2k\gamma_b})^2}{2}){\rm d}x}_{\rm Q\ function}+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}\int_{\sqrt{2k\ln 2}}^{\infty}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi(1/2)}}\exp(-\frac{(x-\sqrt{k\gamma_b/2})^2}{2(1/2)})}_{\mathcal{N}(\sqrt{k\gamma_b/2},1/2)}{\rm d}x\\ =&Q(\sqrt{2k\gamma_b}-\sqrt{2k\ln 2})+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}[1-Q(\frac{\sqrt{k\gamma_b/2}-\sqrt{2k\ln 2}}{\sqrt{1/2}})]\\ =&Q(\sqrt{2k}(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2}))+\frac{M\exp(-k\gamma_b/2)}{\sqrt{2}}Q(\sqrt{k}(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})) \end{aligned}

针对γb≥ln⁡2\gamma_b\ge\ln 2 和γb≥4ln⁡2\gamma_b\ge 4\ln 2 的情况，我们对上式进行放缩，有

Pe≤{12e−k(γb−ln⁡2)2+2ke−kγb/222e−k(4ln⁡2−γb)2/2,ln⁡2<γb<4ln⁡212e−k(4ln⁡2−γb)2/2+2ke−kγb/22,γb≥4ln⁡2P_e\le\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2}+\frac{2^ke^{-k\gamma_b/2}}{2\sqrt{2}}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2},&\ln 2<\gamma_b<4\ln 2\\[8pt] \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2}+\frac{2^ke^{-k\gamma_b/2}}{\sqrt{2}},&\gamma_b\ge 4\ln 2 \end{cases}

和前面类似，为了避免放缩导致的误差，在γb≥4ln⁡2\gamma_b\ge 4\ln 2，令Q(x)≤1Q(x)\le 1 作为上界进行放缩。整理上式，得到

Pe≤{12e−k(γb−ln⁡2)2+122e−k(γb−ln⁡2)2,ln⁡2<γb<4ln⁡212e−k(4ln⁡2−γb)2/2+12e−k(γb−2ln⁡2),γb≥4ln⁡2P_e\le\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-k(\sqrt{\gamma_b}-\sqrt{\ln 2})^2},&\ln 2<\gamma_b<4\ln 2\\[8pt] \frac{1}{2}e^{-k(\sqrt{4\ln 2}-\sqrt{\gamma_b})^2/2}+\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-k(\gamma_b-2\ln 2)},&\gamma_b\ge 4\ln 2 \end{cases}

对于γb>ln⁡2\gamma_b>\ln 2，在k→∞k\to\infty 的情况下，可见PeP_e 的上界是趋近于 0 的。