在前面几节的分析中，我们都假定了接收机和发射机之间是完美同步的 —— 某种意义上，我们的发射机在发送信号的一瞬间，接收机便收到了对应的信号 —— 此外，接收机的本地载波和发射机的载波也保持了完美的同步。显然，在实际环境里面这是不可能发生的。

# 非相干检测

我们考虑在实际环境中，接收机和发射机之间是存在一定的延迟$t_d$ 的（不同步），也就是接收信号：

$$r(t)=s_m(t-t_d)+n(t)$$

这使得我们的相干结果

$$\begin{aligned} \langle r(t),\phi(t)\rangle=&\int_{0}^{T}s_m(t-t_d)\phi(t){\rm d}t+\int_{0}^{T}n(t)\phi(t){\rm d}t\\ \neq&\int_{0}^{T}s_m(t)\phi(t){\rm d}t+\int_{0}^{T}n(t)\phi(t){\rm d}t \end{aligned}$$

显然，这会导致我们的计算出现问题。一般来说，为了解决不同步的问题，我们有两个解决思路：

• 估计$t_d$，在解调时消除$t_d$ 以便正常进行相干解调。
• 非相干检测。

这篇文章我们主要面向非相干检测的方式。我们现在使用$\theta$ 来描述不同步的状态：

$$r(t)=s_m(t;\theta)+n(t)$$

$\theta$ 作为一个随机变量，其表征了不同步的状态。依据我们已有的知识，非相干检测可以分为盲检测（不知道$\theta$ 的分布）和半盲检测（知道$\theta$ 的分布）。

# 未知时延情况下的非相干检测

那么，发射端和接收端的不同步到底导致了什么？我们考虑一个固定的时延$t_d$（在后面一些更加复杂的情况下，我们会遇到时变的时延和多个时延，那对传输系统是灾难性的破坏），那么对于信道上传输的带通信号$s_m(t)$：

$$s_m(t)=Re\{s_{m,l}(t)e^{j2\pi f_ct}\}$$

时延$t_d$ 带来的延迟最后会表现在相位上，也就是：

$$\begin{aligned} r(t)=&s_m(t-t_d)+n(t)\\ =&Re\{s_{m,l}(t-t_d)e^{j2\pi f_ct}\}+n(t)\\ =&Re\{[s_{m,l}(t-t_d)e^{-j2\pi f_ct_d}+n_l(t)]e^{j2\pi f_ct}\}\\ =&Re\{[s_{m,l}(t-t_d)\exp(j\underbrace{(-2\pi f_ct_d)}_{\phi})+n_l(t)]e^{j2\pi f_ct}\} \end{aligned}$$

可以看到，时延$t_d$ 最后会表现为在信号上增加了一个$\phi$ 的相位转动。我们不难意识到一个严重的问题，在现代通信中使用的高频载波下，即使是很短的时延带来的相位转动也是很严重的。例如 1ns 的时延，在 ISM 频段的 2.4GHz 载波下，$t_d\cdot f_c$ 为 2.4，这个数量级是难以忽略的。此时我们不妨假设时延带来的转动角度是满足均匀分布的。

此外考虑到一般的通信环境下，时延$t_d$ 相较于信号持续时间$T$ 来说是非常小的，因此我们可以得到近似：

$$\langle s_{m,l}(t-t_d),\phi_{i,l}(t)\rangle\approx\langle s_{m,l}(t),\phi_{i,l}(t)\rangle$$

即接收信号可以忽略掉$s_{m,l}(t-t_d)$ 中的$t_d$：

$$r_l=e^{j\phi}s_{m,l}+n_l$$

在这样的情况下，我们考虑 MAP 接收：

$$\begin{aligned} \hat{m}=&\argmax_{1\le m\le M}P_m\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi}f_{n,l}(r_l-s_{m,l}e^{j\phi}){\rm d}\phi\\ =&\argmax_{1\le m\le M}\frac{P_m}{2\pi}\frac{1}{(\pi 2N_0)^N}\int_0^{2\pi}\exp{-\frac{||r_l-e^{j\phi s_{m,l} }||^2}{2N_0} }{\rm d}\phi \end{aligned}$$

我们注意到右边积分内指数分子，对这个模的平方展开，得到：

$$||r_l-e^{j\phi s_{m,l} }||^2=||r_l||^2+||s_{m,l}||^2-2||r_l^*s_{m,l}e^{j\phi}||$$

其中第二项，$e^{j\phi}$ 带来的旋转不会改变模长的平方，因而可以直接略去。对于展开的这三项，其中$||r_l||^2$ 对$\argmax$ 没有影响（我们已经通过接收信号得到了它的取值，可以认为这是一个固定值），因而可以略去。而$||s_m||^2$ 是$2\mathcal{E}_m$（注意这是等效低通的信号，同时这里是 MAP 接收，不一定满足等概的条件），和$P_m$ 有关不能略去，但可以从积分中提出。这样，我们得到：

$$\begin{aligned} \hat{m}=&\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }\int_{0}^{2\pi}e^{Re[r_l^*s_{m,l}e^{j\phi}]/N_0}{\rm d}\phi\\ =&\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }\int_{0}^{2\pi}e^{Re[ |r^*_ls_{m,l}|e^{j\theta m}e^{j\phi}]/N_0}{\rm d}\phi\\ =&\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }\int_{0}^{2\pi}e^{Re[ |r^*_ls_{m,l}|\cos(\theta_m+\phi)]/N_0}{\rm d}\phi \end{aligned}$$

在上面第一步中，我们将$r_l^*s_{m,l}$ 写成极坐标的形式，其中坐标角$\angle(r^*_ls_{m,l})=\theta_m$。得到上面最后的结果后，我们不难发现，积分部分满足 Modified Bessel 函数的结构：

$$I_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{x\cos\phi}{\rm d}\phi$$

这样，我们得到：

$$\begin{aligned} \hat{m}=&\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }\int_0^{2\pi}e^{ {\color{green}\frac{ |r_l^*s_{m,l}| }{N_0} }\cos(\theta_m+\phi)}{\rm d}\phi\\ =&\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }I_0({\color{green}\frac{ |r_l^*s_{m,l}|}{N_0} }) \end{aligned}$$

在实践中，我们一般可以用多项式来拟合 Bessel 函数。

这样子，我们考虑 MAP 接收的判决函数：

$$g_{MAP}(r_l)=\argmax_{1\le m\le M}P_me^{-\frac{\mathcal{E}_m}{N_0} }I(\frac{ |r_l^*s_{m,l}|}{N_0})$$

在各个发送符号等能量且等概的条件下，可以得到 ML 接收机的条件，也就是上式中仅剩下了 Bessel 函数：

$$g_{ML}(r_l)=\argmax_{1\le m\le M}I(\frac{ |r_l^*s_{m,l}|}{N_0})$$

实际上这里的$I_0$ 有一个很好的性质，也就是满足严格递增，这样子，可以进一步简化判断条件：

$$g_{ML}(r_l)=\argmax_{1\le m\le M}|r_l^*s_{m,l}|=\argmax_{1\le m\le M}\int_0^T|r_l^*(t)s_{m,l}(t)|{\rm d}t$$

也就是理想判断采用的是接收信号和发射信号内积的模，这个判断方式被称为包络检波 (envelope detector)。

提到包络检波的话，本科时候的那个非常凑合的通信原理实际上也提到了这个方法，一般是用在 PAM 信号的解调时候，最主要的优势也就是成本低廉，只需要非常简单的电路便可以实现。

# 正交信号的非相干检测

下面考虑一个特殊的例子，也就是正交信号的非相干检测。假设一个$M$ 维信号，各个发送符号：

$$\begin{aligned} \textbf{s}_{1,l}=&(\sqrt{2\mathcal{E}_s},0,\cdots,0)^T\\ \textbf{s}_{2,l}=&(0,\sqrt{2\mathcal{E}_s},\cdots,0)^T\\ \vdots&\\ \textbf{s}_{M,l}=&(0,0,\cdots,\sqrt{2\mathcal{E}_s})^T \end{aligned}$$

不妨假设发送了信号$\textbf{s}_{1,l}$，接收端得到了信号为$\textbf{r}_l$，那么我们能够得到 ML 接收机判断：

$$|\textbf{s}_{m,l}^*\cdot \textbf{r}_l|=\begin{cases} |2\mathcal{E}_se^{j\phi}-\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{n}_l|,&m=1\\ |\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{n}_l|,&m\neq 1 \end{cases}$$

这里的噪声$\textbf{n}_l$ 为 I、Q 轴都满足 Gaussian 分布的随机变量，因而有：

$$\mathbb{E}[\textbf{n}_l^*\textbf{n}_l]=2N_0$$

那么$\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{n}_l$ 也满足 I、Q 轴均是 Gaussian 分布（说白了就是个复 Gaussian 分布），更进一步的，$\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l$ 也是一个复 Gaussian 分布。

我们能够发现，$\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l$ 的分布满足两种情况，对于$m=1$，$\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l=2\mathcal{E}_se^{j\phi}-\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{n}_l$，其实部和虚部分别满足均值不为 0 的 Gaussian 分布：

$${\rm Re}[\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l]\sim\mathcal{N}(2\mathcal{E}_s\cos\phi,2\mathcal{E}_sN_0)\\ {\rm Im}[\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l]\sim\mathcal{N}(2\mathcal{E}_s\sin\phi,2\mathcal{E}_sN_0)$$

而对于$m\neq 1$，$\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l=\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{n}_l$，其实部和虚部分别满足均值为 0 的 Gaussian 分布：

$${\rm Re}[\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l]\sim\mathcal{N}(0,2\mathcal{E}_sN_0)\\ {\rm Im}[\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l]\sim\mathcal{N}(0,2\mathcal{E}_sN_0)$$

这样子，其模长根据$m=1$ 与否，满足两个不同的分布。当$m=1$，$|\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l|$ 为两个均值不为 0 的 Gaussian 分布的组合，记$R_1=\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l$，其取值满足 Rice 分布：

$$f_{R_1}=\frac{r_1}{\sigma}I_0(\frac{sr_1}{\sigma^2})e^{\frac{r_1^2+s^2}{2\sigma^2} },r_1>0$$

其中$\sigma^2=2\mathcal{E}_sN_0$，$s=2\mathcal{E}_s$。

当$m\neq 1$ 时情况相对简单一些，$|\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l|$ 为两个均值为 0 的 Gaussian 分布的组合（满足独立同分布了），记$R_m=\textbf{s}_{m,l}^*\textbf{r}_l$，其取值满足 Rayleigh 分布：

$$f_{R_m}=\frac{r_m}{\sigma^2}e^{-\frac{r_m^2}{2\sigma^2} },r_m>0$$

其中$\sigma^2=2\mathcal{E}_sN_0$。

这样我们可以计算 ML 接收机的正确率就是$\argmax$ 选择$\hat{m}=1$ 的概率，即$|\textbf{s}_{1,l}^*\textbf{r}_l|$ 为最大的概率：

$$P_c=Pr\{R_2<R_1,R_3<R_1,\cdots ,R_M<R_1\}$$

此时，由于$R_1$ 为一个随机变量，因此概率分布中各个子事件不满足独立性，故考虑将其作为给定条件，即：

$$\begin{aligned} P_c=&\int_{0}^{\infty}Pr\{R_2<r_1,R_3<r_1,\cdots,R_M<r_1|R_1=r_1\}f(r_1){\rm d}r_1\\ =&\int_{0}^{\infty}[\int_{0}^{r_1}f(r_m){\rm d}r_m]^{M-1}f(r_1){\rm d}r_1 \end{aligned}$$

当概率中各个子事件独立，可以用累乘的方法将其简化，得到上面第二步的结果，也就是需要求 Rayleigh 分布的变量取值小于$r_1$ 的概率，对 Rayleigh 分布的 PDF 函数进行积分，得到：

$$P_c=\int_0^{\infty}[1-e^{-\frac{r_1^2}{2\sigma^2} }]^{M-1}f(r_1){\rm d}r_1$$

利用二项分布公式展开积分中的指数部分，得到：

$$P_c=\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{M-1}\left(\begin{matrix}M-1\\ n\end{matrix}\right)(-1)^ne^{-\frac{nr_1^2}{2\sigma^2} }f(r_1){\rm d}r_1$$

展开 Rice 分布的 PDF，能够得到：

$$P_c=\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{M-1}\left(\begin{matrix}M-1\\ n\end{matrix}\right)(-1)^ne^{-\frac{nr_1^2}{2\sigma^2} }\frac{r_1}{\sigma}I_0(\frac{sr}{\sigma^2})e^{-\frac{r_1^2+s^2}{2\sigma^2} }{\rm d}r_1$$

注意到求和函数部分和$r_1$ 关系并不大，对调积分和求和函数的顺序，得到：

$$P_c=\sum_{n=0}^{M-1}\left(\begin{matrix}M-1\\ n\end{matrix}\right)(-1)^n\int_0^{\infty}\frac{r_1}{\sigma}I_0(\frac{sr}{\sigma^2})e^{-\frac{(n+1)r_1^2+s^2}{2\sigma^2} }{\rm d}r_1$$

此时，我们得到了一个还是比较棘手的积分，工程上 Bessel 函数的计算可以通过多项式拟合或者查表来完成，但是在这个积分中使用这些办法带来的误差将会是十分严重的，因此我们应该考虑一些更好的办法来解决这个问题。

我们观察这个积分内部的形式，能够注意到，它长得和 Rice 分布的 PDF 有些类似，因此我们考虑能否将其转换为 Rice 分布进行积分。

注意到我们可以令$s'=s/\sqrt{n+1}$，$r'=r_1\sqrt{n+1}$，带入可以得到：

$$\begin{aligned} &\int_0^{\infty}\frac{r_1}{\sigma}I_0(\frac{sr}{\sigma^2})e^{-\frac{(n+1)r_1^2+s^2}{2\sigma^2} }{\rm d}r_1\\ =&\int_0^{\infty}\frac{r'}{\sigma(n+1)}I(\frac{s'r'}{\sigma^2})e^{-\frac{ {r'}^2+(n+1){s'}^2}{2\sigma^2} }{\rm d}r'\\ =&\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n{s'}^2}{2\sigma^2} }\int_{0}^\infty\frac{r'}{\sigma}I_0(\frac{s'r'}{\sigma^2})e^{-\frac{ {r'}^2+{s'}^2}{2\sigma^2} }{\rm d}{r'}\\ =&\frac{1}{n+1}e^{-\frac{n{s'}^2}{2\sigma^2} }\\ =&\frac{1}{n+1}e^{-\frac{ns^2}{2\sigma^2(n+1)} } \end{aligned}$$

我们发现右边的积分部分现在满足 Rice 分布从$0$ 到$\infty$ 的积分，这部分的值就是$1$，扔回去，我们就得到：

$$\begin{aligned} P_c=&\sum_{n=0}^{M-1}\frac{(-1)^n}{n+1}\left(\begin{matrix}M-1\\n\end{matrix}\right)e^{-\frac{ns^2}{2\sigma^2(n+1)} }\\ =&1+\sum_{n=0}^{M-1}\frac{(-1)^n}{n+1}\left(\begin{matrix}M-1\\n\end{matrix}\right)e^{-\frac{n}{n+1}\frac{\mathcal{E}_s}{N_0} } \end{aligned}$$

相应的，我们能够得到错误率：

$$P_e=1-P_c=\sum_{n=0}^{M-1}\frac{(-1)^{n+1} }{n+1}\left(\begin{matrix}M-1\\n\end{matrix}\right)e^{-\frac{n}{n+1}\frac{\mathcal{E}_s}{N_0} }$$

怎么说呢，我们选择一些特定的参数，例如 M=2 的时候，比较一下相干和非相干解调的性能差距：

两者还是有比较明显的差距的，非相干解调的错误概率明显要高于相干解调的情况，不过这也是意料之中的，毕竟成本更低，实现也更加简单。

# 差分 PSK 信号的接收

首先，为什么要谈及差分 PSK 信号？

在非相干的情况下，时延导致的星座图旋转已经使得我们正常的 PSK 解调方法不可信了 —— 信号的相位已经不知道被旋转到哪里去了，简简单单的通过绝对相位来进行判断是难以解决问题的。

差分显然是一个很好的解决办法 —— 星座图尽管旋转得非常严重，但前后符号之间的相对相位是不会改变的，通过将绝对相位改为相对相位，我们能够有效避免这个问题。

不过呢，解决了一个问题自然会带来其他的新问题，一方面差分信号带来了系统实现上的复杂度，另一方面，差分信号会引入错误传播的问题 —— 当前一个符号发生了错误，其不可避免地会影响到下一个符号的判断。