# 二进制双极性信号的理想判决

我们考虑最简单的一类调制信号，二进制双极性信号 (binary antipodal signal)：

$$s_1(t)=s(t),s_2(t)=-s(t)$$

发送这两种信号的概率分别是

$$Pr\{s_1(t)\}=p,Pr\{s_2(t)\}=1-p$$

不难注意到我们可以使用基底

$$\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{||s_1(t)||}$$

表示该信号。假设信号的能量为$\mathcal{E}_b$，不失一般性地，我们将符号$s_1(t)$ 判决域表示为$\mathcal{D}_1$，回忆上一节的 MAP 判决准则

$$\hat{m}=\argmax_{1\le m\le N}[\frac{N_0}{2}\log{P_m}+\textbf{r}^T\textbf{s}_m-\frac{1}{2}\mathcal{E}_m]=\argmax_{1\le m\le N}[\eta_m+\textbf{r}^T\textbf{s}_m]$$

我们能够得到判决域的表示

$$\begin{aligned} \mathcal{D}_1=&\{r\in\mathbb{R}:\eta_1+rs_1>\eta_2+rs_2\}\\ =&\{r\in\mathbb{R}:\frac{N_0}{2}\log p-\frac{\mathcal{E}_b}{2}+r\sqrt{\mathcal{E}_b}>\frac{N_0}{2}\log(1-p)-\frac{\mathcal{E}_b}{2}-r\sqrt{\mathcal{E}_b}\}\\ =&\underbrace{\{r\in\mathbb{R}:r>\frac{N_0}{4\sqrt{\mathcal{E}_b}}\log\frac{1-p}{p}\}}_{\rm threshold\ decision} \end{aligned}$$

鉴于二进制双极性信号的性质，这里的$r,s_1,s_2$ 均采用标量表示以减少麻烦。根据判决域的表达形式，我们发现实际上对于二进制双极性信号，理想判决就是判断接收值是否超过了某一个阈值$r_{thres}$。

观察理想判决函数，如果我们需要实现错误率最低的接收，我们需要精确的计算概率$p$ 和信号的强度$\mathcal{E}_b$，估计信道噪声的$N_0$。这些条件还是比较麻烦的。

我们记阈值$r_{thres}=\cfrac{N_0}{4\sqrt{\mathcal{E}_b}}\log\cfrac{1-p}{p}$，可以得到理想判决函数：

$$g_{opt}(r)=\begin{cases} 1,&{\rm if\ }r>r_{thres}\\ tie,&{\rm if\ }r=r_{thres}\\ 2,&{\rm if\ }r<r_{thres} \end{cases}$$

其中$r=r_{thres}$ 时是无法判断的，但是在实际情况下基本可以不用考虑。

接下来，我们来分析其错误率，由于是二进制信号，信号的 SER 就等于 BER：

$$\begin{aligned} P_e =&\sum_{m=1}^{2}P_m\sum_{m'\neq m}\int_{\mathcal{D}_{m'}}f(r|s_m){\rm d}r\\ =&\underbrace{p\int_{\mathcal{D}_2}f(r|s=\sqrt{\mathcal{E}_b}){\rm d}r}_{\rm mistake\ s_1\ for\ s_2} +\underbrace{(1-p)\int_{\mathcal{D}_1}f(r|s=-\sqrt{\mathcal{E}_b}){\rm d}r}_{\rm mistake\ s_2\ for\ s_1}\\ =&p\int_{-\infty}^{r_{thres}}f(r|s=\sqrt{\mathcal{E}_b}){\rm d}r +(1-p)\int_{r_{thres}}^{\infty}f(r|s=-\sqrt{\mathcal{E}_b}){\rm d}r \end{aligned}$$

观察上式中的积分部分，不失一般性地，我们以左边为例，发送的符号$s=\sqrt{\mathcal{E}_b}$ 在经过了 AWGN 信道之后，接收的符号满足 Gaussian 分布

$$\mathcal{N}(\sqrt{E}_b,\frac{N_0}{2})$$

错误率的表达式因此可以写成

$$\begin{aligned} P_e=&pPr\{\mathcal{N}(\sqrt{E}_b,\frac{N_0}{2})<r_{thres}\} +(1-p)Pr\{\mathcal{N}(-\sqrt{E}_b,\frac{N_0}{2})>r_{thres}\}\\ =&pPr\{\mathcal{N}(\sqrt{E}_b,\frac{N_0}{2})<r_{thres}\} +(1-p)Pr\{\mathcal{N}(\sqrt{E}_b,\frac{N_0}{2})<-r_{thres}\}\\ =&pQ(\frac{\sqrt{\mathcal{E}_b}-r_{thres}}{\sqrt{N_0/2}})+ (1-p)Q(\frac{\sqrt{\mathcal{E}_b}+r_{thres}}{\sqrt{N_0/2}}) \end{aligned}$$

这个形式还是可以进行数值计算的。

不过，让我们考虑一个更好的情况，在发送的$s_1$ 和$s_2$ 等概的条件下，我们可以采用 ML 接收机实现。此时，我们发现$r_{thres}=0$，此时实现理想接收也不需要估计信号能量和噪声电平。在这种情况下，接收端的错误率可以化简为

$$P_e=Q(\sqrt{\frac{2\mathcal{E}_b}{N_0}})$$

# 二进制等概率正交信号的理想判决

下面我们考虑二进制等概率正交信号 (binary equal-probable orthogonal signal) 的情况。考虑发送端两种调制符号$s_1(t)$ 和$s_2(t)$，分别对应一对正交的基底

$$s_1(t)=\phi_1(t),s_2(t)=\phi_2(t)$$

根据上一节叙述的 ML 判决准则，对于符号$s_1$，接收机的理想判决域

$$\mathcal{D}_1=\{\textbf{r}\in\mathbb{R}^2:||\textbf{r}-\textbf{s}_1||<||\mathbf{r}-\textbf{s}_2||\}$$

不难注意到，符号错误的情况为$\int_{\mathcal{D}_1}f(\textbf{r}|\textbf{s}_2)$ 和$\int_{\mathcal{D}_2}f(\textbf{r}|\textbf{s}_1)$。对于判决域$\mathcal{D}_1$，我们考虑接收矢量$\textbf{r}=\textbf{s}_2+\textbf{n}$，有

$$\begin{aligned} &||\textbf{r}-\textbf{s}_1||<||\mathbf{r}-\textbf{s}_2||\\ \iff&||\textbf{s}_2+\textbf{n}-\textbf{s}_1||<||\textbf{n}||\\ \iff&||(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)+\textbf{n}||^2<||\textbf{n}||^2\\ \iff&||\textbf{s}_2-\textbf{s}_1||^2+\sout{||\textbf{n}||^2}+2(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)^T\textbf{n}<\sout{||\textbf{n}||^2}\\ \iff&(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)^T\textbf{n}<-\frac{1}{2}||\textbf{s}_2-\textbf{s}_1||^2 \end{aligned}$$

注意不等式的左边，$\textbf{n}$ 是一个二维 Gaussian 随机变量，$(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)^T\textbf{n}$ 也满足 Gaussian 变量，其均值为 0，而方差为

$$\mathbb{E}[(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)^T\textbf{n}\textbf{n}^T(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)]=\frac{N_0}{2}||\textbf{s}_2-\textbf{s}_1||^2$$

我们令

$$d_{12}^2=||\textbf{s}_2-\textbf{s}_1||^2$$

那么$(\textbf{s}_2-\textbf{s}_1)^T\textbf{n}\sim\mathcal{N}(0,\cfrac{N_0}{2}d_{12}^2)$，则

$$\begin{aligned} &\int_{\mathcal{D}_1}f(\textbf{r}|\textbf{s}_2)\\ =&Pr\{\mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2}d_{12}^2)<-\frac{1}{2}d_{12}^2\}\\ =&Q(\frac{d_{12}^2/2}{d_{12}\sqrt{N_0/2}})\\ =&Q(\sqrt{\frac{d_{12}^2}{2N_0}}) \end{aligned}$$

根据对称性，$\int_{\mathcal{D}_2}f(\textbf{r}|\textbf{s}_1)=Q(\sqrt{d_{12}^2/(2N_0)})$。

有趣的是，我们在推导过程中并没有利用到$\textbf{s}_1$ 和$\textbf{s}_2$ 正交的性质 —— 这样看来，上面的错误率推导对单纯的二进制双极性信号也是适用的。

# 一般的二进制等能量、等概率信号

我们把上面的讨论推广到更加一般的情况。考虑两个发送符号

$$||\textbf{s}_1||=||\textbf{s}_2||=\sqrt{\mathcal{E}_b}$$

两个符号之间的距离的平方$d_{12}^2=||\textbf{s}_2-\textbf{s}_1||^2=||\textbf{s}_2||^2+||\textbf{s}_1||^2-2<\textbf{s}_2,\textbf{s}_1> =2\mathcal{E}_b(1-\rho)$，其中

$$\rho=\frac{<\textbf{s}_2,\textbf{s}_1>}{||\textbf{s}_2||\cdot||\textbf{s}_1||},\ {\rm we\ call\ \rho\ {\bf\color{gray}correlation\ coefficient}}$$

这样，接收机的错误率为

$$P_e=Q(\sqrt{\frac{d_{12}^2}{2N_0}})=Q(\sqrt{(1-\rho)\frac{\mathcal{E}_b}{N_0}})$$

这是一般情况下二进制等概率等能量信号接收机的错误概率，我们能够绘制两种常见的调制方式的比特错误率 - 信噪比曲线。

可见 BPSK 和 BFSK 相比，抗噪声性能存在明显优势。此外，对于 BER=$10^{-5}$ 的情况，BPSK 需要 9.6dB 的信噪比，这是在工程中常用的重要数据。