前面学了一些基础的调制方式，然而经过了调制的信号经过了信道的传输，往往已经面目全非。而接收机需要从接收的信号中处理得到原始信号，这也就是后面要探讨的问题。

# AWGN 信道

一个最基本的信道模型应该就是加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise）信道，对这个信道的表述是：

$$r(t) = s_m(t)+n(t)$$

其中，$r(t)$ 是接收到的信号，$s_m(t)$ 是经过调制的信号，$n(t)$ 是高斯白噪声。这里使用的是所谓的白噪声，是其功率谱密度$S_n(f)=\frac{N_0}{2}$(W/Hz)，均值为 0。

尽管 AWGN 信道非常简单，但是其作为一个最基本的信道模型，能够很好的描述噪声的影响，也是其他更加复杂的信道模型的基础。

前面提到了通过标准正交基，可以用$\boldsymbol{s}$ 表述每一个信号$s_m(t)$，而噪声也可以用标准正交基来表示，得到一个各分量 I.I.D、均值为 0、方差为$N_0/2$ 的矢量形式$\boldsymbol{n}$，这样整个信号可以表述为$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{s}+\boldsymbol{n}$。

我们考虑一个均值$N_0/2$ 白过程$X(t)$，这个过程的正交展开式可以通过 Karhunen-Loève 变换得到：

$$\int_{a}^{b}\frac{N_0}{2}\delta(t_1-t_2)\phi_n(t_2){\rm d}t_2=\lambda_n\phi_n(t_1),a<t_1<b$$

其中$\frac{N_0}{2}\delta(t_1-t_2)$ 为其自相关函数，利用冲激函数的性质能够得到：

$$\frac{N_0}{2}\phi_n(t_1)=\lambda_n\phi_n(t_1),a<t_1<b$$

也就是说任意的标准正交基可以用于白过程的展开，展开系数的方差相同，均为$N_0/2$。

我们现在采用一个$s_m(t)$ 的标准正交基$\{\phi_(t);1\le i\le N\}$ 对信号进行展开，得到：

$$r_i=<r(t);\phi_i(t)> =\int_0^T r(t)\phi_i^*(t){\rm d}t\\[2ex] s_{mi}=<s_m(t);\phi_i(t)> =\int_0^T s_m(t)\phi_i^*(t){\rm d}t\\[2ex] n_i=<n(t);\phi_i(t)> =\int_0^T n(t)\phi_i^*(t){\rm d}t$$

因为内积的线性性质，我们可以得到：

$$r_i=s_{mi}+n_i$$

然而噪声并不能够通过$\{\phi_(t);1\le i\le N\}$ 完备展开，我们记

$$n(t)=\sum_{i=1}^{N}n_i(t)\phi_i(t)+\~{n}(t)$$

不过，考虑到

$$\~{n}(t)=r(t)-\sum_{i=1}^Nr_i\cdot \phi_i(t)$$

那么

$$r(t)-\~{n}(t)=\sum_{i=1}^Nr_i\cdot \phi_i(t)=\sum_{i=1}^{N}s_{mi}\cdot \phi_i(t)+\sum_{i=1}^{N}n_i\cdot \phi_i(t)$$

也就是$\~n(t)$ 和信号中的其他分量正交，我们可以忽略这一部分。

而考量噪声分量$n_i$ 的均值和方差，可以得到

$$\mathbb{E}[n_i]=\mathbb{E}[\int_0^T n(t)\phi_i^*(t){\rm d}t]=0$$

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[ |n_i|^2]=&\mathbb{E}[\int_0^T n(t)\phi_i^*(t){\rm d}t\int_0^Tn^*(t)\phi_i(t){\rm d}t]\\ =&\int_0^T\int_0^T\mathbb{E}[n(t)n^*(\tau)]\phi_i^*(t)\phi_i(\tau){\rm d}t{\rm d}\tau\\ =&\int_0^T\int_0^T\frac{N_0}{2}\delta(t-\tau)\phi_i^*(t)\phi_i(t){\rm d}t{\rm d}\tau\\ =&\frac{N_0}{2}\int_0^T \phi_i^*(\tau)\phi_i(\tau){\rm d}\tau\\ =&\frac{N_0}{2} \end{aligned}$$

# 最佳检测

一个接收机在接收到信号之后，对信号的处理一般是两个步骤，也就是解调 demodulate 和判决 detect。

对于输入的信号$r(t)$，接收机将其 demodulate，得到一个$N$ 维矢量$\boldsymbol{r}=[r_1,r_2,...,r_N]$，这个过程也就是一个向量化的。

而针对这个向量化的信号，接收机使用一个判决函数对其进行分析，判断这个矢量对应哪一个消息$\hat{m}$。这个判决函数为一个$\mathbb{R}^N$ 到$\{1,2,...,M\}$ 的映射，可以表示为

$$g(\boldsymbol{r})=m,if\ \boldsymbol{r}\in\mathcal{D}_m$$

这里的$\mathcal{D}_m$ 被称为判决域（Decision Region）。

而一个最佳接收机的目的也就是使得这个判断过程的错误概率最低。

很明显，正确判断的概率是

$$P_c=\sum_{m=1}Pr\{\boldsymbol{s}_m\ sent\}\int_{\mathcal{D}_{m}}f(\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m){\rm d}\boldsymbol{r} =\sum_{m=1}^{M}\int_{\mathcal{D}_m}f(\boldsymbol{r})Pr\{\boldsymbol{s}_m\ sent|\boldsymbol{r}\ received\}$$

这里的$f$ 是概率密度函数，式中第一步为先验概率，第二步中为后验概率。很明显，理想的判决方式就是使得正确判断概率最大，即

$$g_{MAP}(\boldsymbol{r})=\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m\ sent|\boldsymbol{r}\ received\}$$

这个也就是所谓的最大后验概率（maximum a posteriori probability, MAP）准则，利用 Bayes 公式，能够得到

$$g_{MAP}(\boldsymbol{r})=\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m\ sent|\boldsymbol{r}\ received\}=\arg\max_{1\le m\le M}\frac{Pr\{\boldsymbol{s}_m\}Pr\{\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m\}}{Pr\{\boldsymbol{r}\}}$$

如果发送的符号是等概率的，即$Pr\{\boldsymbol{s}_m\}=\frac{1}{M}$，上面的式子变成

$$g_{ML}(\boldsymbol{r})=\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m\}$$

这个被称为最大似然（maximum likelihood, ML）准则。

ML 准则要求发送的符号是等概率的，如果条件不满足，ML 接收机并不是最佳的。但是实际中，MAP 需要准确知道发送消息的概率，这是比较困难的，因此 ML 是工程上一个比较好的选择。

# 差错概率

对于接收机，接收的符号错误率有时候比正确率更加重要。一个最基本的衡量标准就是符号错误率（Symbol Error Rate, SER）：

$$P_e=\sum_{m=1}^{M}P_mPr\{g(\boldsymbol{r})\neq m|\boldsymbol{s}_m \ sent\}\\[2ex] =\sum_{m=1}^{M}P_m\sum_{m'\neq m}\int_{\mathcal{D}_m'}f(\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m){\rm d}\boldsymbol{r}$$

然而数字通信中我们传输的实际上应该是比特而非符号，这也就引来了比特错误率的概念。我们考虑一个 MAP 接收机，其输出的比特$b_i$ 正确的概率为

$$Pr\{b_i=l|\boldsymbol{r}\}=\sum_{\boldsymbol{s}_m:b_i=l}Pr\{\boldsymbol{s}_m|\boldsymbol{r}\}$$

这里的概率包括了该符号正确的概率和符号错了但是对应的 bit 正确的概率，这种情况下的 MAP 判决为

$$g_{MAPi}(\boldsymbol{r})=\arg\max_{l\in\{0,1\}}\sum_{s_m:b_i=l}Pr\{\boldsymbol{s}_m|\boldsymbol{r}\}$$

对于$b_i$，判决域分为了两个部分：

$$\mathcal{B}_{i,0}=\{\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^N:g_{MAPi}(\boldsymbol{r})=0\}\\[2ex] \mathcal{B}_{i,1}=\{\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^N:g_{MAPi}(\boldsymbol{r})=1\}$$

那么比特错误率（Bit Error Rate, BER）错误概率可以描述为

$$P_{b,i}=\sum_{l\in\{0,1\}}\sum_{\boldsymbol{s}_m:b_i=l}Pr\{\boldsymbol{s}_m\ sent\}\int_{\mathcal{B}_{i,(1-l)}}f(\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m){\rm d}\boldsymbol{r}$$

平均的 BER 为

$$P_b=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}P_{b,i}$$

我们能够推出下面的不等式

$$P_b\le P_e\le kP_b$$

# 充分统计量

我们考虑发送的消息为$\boldsymbol{s}_m$，接收机得到$\boldsymbol{r}=(r_1,r_2)$，如果

$Pr[\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m]=Pr[r_1,r_2|\boldsymbol{s}_m]=Pr[r_1|\boldsymbol{s}_m]Pr[r_2|r_2]$

这样形成了一个 Markov 链$\boldsymbol{s}_m\rightarrow r_1\rightarrow r_2$。

在这种情况下，我们不需要使用$r_2$ 就可以进行理想判决：

$$g_{opt}(\boldsymbol{r})=\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m|\boldsymbol{r}\}=\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m\}Pr\{\boldsymbol{r}|\boldsymbol{s}_m\}\\[2ex] =\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m\}Pr\{r_1|\boldsymbol{s}_m\}Pr\{r_2|r_1\}\\[2ex] =\arg\max_{1\le m\le M}Pr\{\boldsymbol{s}_m\}Pr\{r_1|\boldsymbol{s}_m\}$$

这样子，我们称$r_1$ 为充分统计量（sufficient statistic），$r_2$ 为无关统计量（irrelevant statistic）。