之前的部分像 PAM、PSK 和 QAM 这些调制方式的一个重要特性也就是无记忆的，这些调制方式的输出仅取决于当前的输入。这些方式明显的优点也就是实现的简便，然而例如 PSK 这些方式，存在着相位跳变的问题，这会带来更高的带宽占用。

# 差分编码和 DPSK

一个常用的、也是最直观的使用的编码方式就是 NRZ 不归零码，如果输入的 bit 为 1 就输出 1，输入为 0 就输出 - 1（或者类似的），这样的输出信号可以直接用来乘以载波实现 2-PAM 或者 BPSK 调制。

而一个” 改进 “的方式也就是所谓的差分编码。差分编码的输出取决于当前的输入和先前的输出结果，如果当前输入和之前的输出一致，那么输出就是 0，否则就是 1。记当前输入为$a_k$，之前的输出为$b_{k-1}$，那么差分编码的输出$b_k$ 就是：

$$b_k=a_k\oplus b_{k-1}$$

我们来考虑一个 PSK 传输的情景，在理想的情况下，发射端载波频率为$f_{TX}=f_c$，接收端和发射端保持完全的载波同步即$f_{RX}=f_c$，那么接收端收到信号是$\cos(2\pi f_ct+\theta)$，采用相干解调，得到：

$$\begin{aligned} \cos(2\pi f_ct+\theta)\cos(2\pi f_ct)=&\cos(2\pi f_ct)^2\cos(\theta)-\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_ct)\sin(\theta)\\[2ex] =&\frac{1}{2}\cos(4\pi f_ct)\cos(\theta)+{\color{blue}\frac{1}{2}\cos(\theta)}-\frac{1}{2}\sin(4\pi f_ct)\sin(\theta) \end{aligned}$$

两个高频部分可以通过低通滤波器去除，得到剩下的也就是相位部分。这样接收端得到的相位$\hat{\theta}=\theta$。

然而，实际上发射端和接收端的载波频率难以保证完美的同步，存在发射端载波频率为$f_{TX}=f_c$，接收端载波$f_{RX}=f_c'\neq f_c$，在这种情况下，相干解调的结果：

$$\begin{aligned} \cos(2\pi f_ct+\theta)\cos(2\pi f_c't)=&\cos(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_c't)\cos(\theta)-\sin(2\pi f_ct)\cos(2\pi f_c't)\sin(\theta)\\[2ex] =&\cos(2\pi f_c't + [2\pi(f_c-f_c')]t+\theta) \end{aligned}$$

接收端得到的的相位为$\hat{\theta}=2\pi(f_c-f_c')t+\theta$，这会导致无法正确解调。

PSK 判断的是载波的相位，而相位的偏差会导致无法正确解调。如果我们使用差分编码的话，应该就可以避免这个问题 —— 差分编码使用相位变化而不是绝对相位来表示信息 —— 这个也就是所谓的差分 PSK（DPSK）。

考虑二进制传输的情况，我们可以直接使用经过了时延的输入信号作为本地载波参与解调：

经过差分编码的 BPSK 信号，共有两种情况，也就是$\pm A_c\cos(2\pi f_ct)$。在流图中，输入信号会经过一个$T_0$ 的时延，而$T_0$ 应该是载波周期的整倍数，因而不会影响实际的相位（当然如果不是整倍数的话，这个常数的时间带来的相位差也可以被处理掉）。这样，我们可以得到：

$$z(t)=\left\{ \begin{aligned} A_c^2\cos^2(2\pi f_ct)&=\frac{1}{2}A_c^2+\frac{1}{2}\cos(4\pi f_ct)&\xrightarrow{LPF}&\frac{1}{2}A_c^2,&y(t)=y(t-T_0)\\[2ex] -A_c^2\cos^2(2\pi f_ct)&=-\frac{1}{2}A_c^2-\frac{1}{2}\cos(4\pi f_ct)&\xrightarrow{LPF}&-\frac{1}{2}A_c^2,&y(t)=-y(t-T_0)\\[2ex] \end{aligned} \right.$$

通过结果的符号也就可以判断当前的输入和上一个输入是否相同，进而可以实现差分编码的解码。这个过程不需要本地振荡器，能够避免振荡不准带来的问题，也降低了接收端实际实现的成本。当然，这么做的代价是增加了一定的理论错误率，但是在实践中，这个方法的效果还是往往更好的。

# 从 FSK 的缺陷到 CPFSK 和 CPM

在 FSK 中，我们通过不同的频率来表示传输的数据，然而，不同频率之间的切换难免会带来一些问题。

如果我们要实现一个 M-FSK，我们至少需要 M-1 个振荡器，并且通过某种电路根据输入信号在它们之间来回切换。如果我们需要足够理想的 FSK 的话，这个切换是该是非常迅速的 —— 然而这个迅速的切换会带来额外的高频信号。这些高频信号会导致额外的能量泄漏到不需要的部分，也会对其他的频谱产生不好的影响。

我们考虑一个情境，我们实现了一个很理想的 2-FSK，我们使用两个振荡器，频率分别是$f$Hz 和$2f$Hz，如果传输信号是 {1,-1,-1,1}，那么最后的信号就是：

可以看到在时域上存在明显的断点，这些信号的跳变会带来非常宽的频谱。

比较一般地，我们考虑一个理想的 FSK 信号$s_m(t)$ 和其等效低通信号$s_{m1}(t)$：

$$s_m(t)={\rm Re}[\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(m\Delta f)t}e^{j2\pi f_ct}]\\[2ex] s_{m1}(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(m\Delta f)t}$$

如果记输入的消息为一个 PAM 符号序列$I_n$，重新表示等效低通的信号为：

$$s_{1}(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j2\pi(I_n\Delta f)t}$$

计算相位的变化：

$$\begin{aligned} d(t)&=I_0[u_{-1}(t)-u_{-1}(t-T)]+\textbf{1}\{I_0\neq I_1\}\cdot I_1\cdot 1\cdot \delta(t-T)\\[2ex] &=I_1[u_{-1}(t-T)-u_{-1}(t-2T)]+\textbf{1}\{I_1\neq I_2\}\cdot I_2\cdot 2\cdot \delta(t-2T)\\[2ex] &=I_2[u_{-1}(t-2T)-u_{-1}(t-3T)]+\textbf{1}\{I_2\neq I_3\}\cdot I_3\cdot 3\cdot \delta(t-3T)\\[2ex] &+... \end{aligned}$$

其中$\textbf{1}\{cond\}value$ 表示$value$ 仅在$cond$ 成立的条件下存在。这也就是说，输入的$I_n$ 发生改变时，会在相位的变化$d(t)$ 中引入一个冲激函数$\delta(\cdot)$。这个冲激函数的存在会使得积分的结果不连续，也就是相位会发生突变。这个突变会带来高频信号的产生。

利用相位的变化，我们可以重新表示等效低通信号：

$$s_1(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j4\pi Tf_d\int^{t}_{-\infty}d(\tau){\rm d}\tau + \phi_0}$$

这里的$f_d$ 是峰值频率的偏移，$\phi_0$ 是载波的初始相位。

考虑到上面$d(t)$ 中$\delta(\cdot)$ 部分会引入冲激函数导致相位不连续，简单粗暴的，我们可以去掉其中冲激函数的部分：

$$d(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_ng(t-nT)$$

这里的$g(t)$ 是 phase shaping function，注意和前面调制部分的脉冲整形函数区分，一种采用方波的形式的是

$$g(t)=\frac{1}{2T}[u_{-1}(t)-u_{-1}(t-T)]$$

如果我们使用一个关于时间的函数表示相位：

$$\begin{aligned} \phi(t;\boldsymbol{I})&=4\pi Tf_d\int_{-\infty}^{t}d(\tau){\rm d}\tau\\[2ex] &=4\pi Tf_d\int_{-\infty}^{t}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_ng(\tau-nT)]{\rm d}\tau\\[2ex] &=4\pi Tf_d[\sum_{n=-\infty}^{n-1}I_k(T\times \frac{1}{2T})+I_n\cdot\frac{t-nT}{2T}],\ t\in[nT,(n+1)T)\\[2ex] &=\underbrace{2\pi f_d T\sum_{n=-\infty}^{n-1}I_k}_{memory}+2\pi f_d(t-nT)I_n,\ t\in [nT,(n+1)T) \end{aligned}$$

利用$\phi(t;\boldsymbol{I})$，等效低通信号可以表示为：

$$s_1(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}e^{j\phi(t;\boldsymbol{I})+\phi_0}$$

注意上面$\phi(t;\boldsymbol{I})$ 中的 memory 部分，这个部分累积了先前的所有输入信息，这也使得这是一个有记忆调制方式。

如果我们继续化简和取代$\phi(t;\boldsymbol{I})$ 的表达式，我们得到：

$$\phi(t;\boldsymbol{I})=\theta_n+2\pi h\cdot I_n q(t-nT)$$

这里的$h=2f_d T$，叫做调制指数；$\theta_n=\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-1}I_k$，是先前所有的输入信息的累积，也就是这里调制的记忆部分；$q(t)$ 是对$g(t)$ 剩余部分的积分，对于$t\in [nT,(n+1)T)$，前面的$n-1$ 个码字都被累积在了$\theta_n$ 中，而当前的第$n$ 码字还未结束，故需要特殊处理：

$$q(t)=\left\{ \begin{aligned} 0,&t<0\\[2ex] \frac{t}{2T},&0\leq t< T\\[2ex] \frac{1}{2},&t\ge T \end{aligned} \right.$$

这样，我们就得到了一个连续相位频移键控（CPFSK）的表示。考虑到相位应该是$d(t)$ 的积分，对于不包含冲激函数的$d(t)$，其积分应该是连续的，从而可以避免相位跳变的发生。

考虑更加一般的情况，也就是相续相位调制（CPM），载波相位：

$$\phi(t;\boldsymbol{I})=2\pi\sum_{k=-\infty}^{n}I_kh_kq(t-kT),\ nT\le t\le(n+1)T$$

这里$\{I_k\}$ 是一个 M 元 PAM 符号序列，$\{h_k\}$ 是一个调制指数序列，$q(t)$ 是一个归一化的波形，一般是某一个脉冲$g(t)$ 的积分：

$$q(t)=\int_{0}^{t}g(\tau){\rm d}\tau$$

以下图为例，这里的$g(t)$ 持续可能不仅仅是一个周期$T$，也可能是$L$ 个周期$T$，对于只持续一个周期$T$ 也就是$\forall t>T, g(t)=0$ 的情况，我们称此时的调制信号为全响应 CPM（Full Response CPM），否则为部分响应 CPM（Partial Response CPM）。部分响应 CPM 增加了一个信息的持续时间，可以增加抗干扰能力，但是也增加了系统的复杂度。

这里的$g(t)$ 不仅仅可以采用方波，常见的形式包括了方波 L-REC（Rectangle）：

$$g(t)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2LT},&0\leq t\leq LT\\[2ex] &0,& otherwise \end{aligned} \right.$$

升余弦脉冲 L-RC（Raised Cosine）：

$$g(t)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2LT}(1-\cos(\frac{2\pi t}{LT})),&0\leq t\leq LT\\[2ex] &0,& otherwise \end{aligned} \right.$$

以及 Gaussian 最小频移键控（GMSK）脉冲：

$$g(t)=\frac{Q[2\pi B(t-\frac{T}{2})] - Q[2\pi B(t+\frac{T}{2})]}{\sqrt{\ln 2}}$$

这里的$Q$ 函数是 Gaussian 分布的累积分布函数，$B$ 是 Gaussian 脉冲的 - 3dB 带宽。下面是一部分$g(t)$ 的图像：

带宽 - 时间乘积$BT=0.3$ 的 GMSK 脉冲被用于 GSM 通信中。

# 相位树和相位图

如果把所有可能的信息序列生成的相位轨迹绘制在一张图中，也就可以得到相位树。一个 1-REC 和 1-RC 的相位树如下图所示：

这个相对来说比较清晰，然而对于多元的情况，相位树会变得较为复杂，以一个使用了 1-REC 的 4 元 CPM 为例：

相位树会变得十分复杂。

一个更加方便的显示方式是相位图（Phase Trellis），考虑到相位周期为$2\pi$，实际只要显示$(-\pi,\pi)$ 之间的部分就可以，以前面的 1-RC 的二元 CPM 为例：

如果使用$\cos\phi(t;\boldsymbol{I})$ 和$\sin\phi(t;\boldsymbol{I})$ 来表示相位，关于时间轴我们可以绘制一个相位圆柱的图像：

# 最小频移键控 MSK

最小频移键控是 CPFSK 的一个特例，如果我们设置$h_k=\frac{1}{2}$，$g(t)=\frac{1}{2T}$，输入的符号序列为二元 PAM 序列$\{-1,1\}$，我们就得到了最小频移键控（Minimum Shift Keying，MSK），我们观察相位：

$$\begin{aligned} \phi(t;\boldsymbol{I})&=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{n-1}I_k+\pi I_n q(t-nT)\\[2ex] &=\theta_n+\frac{1}{2}\pi I_n(\frac{t-nT}{T})\\[2ex] &=2\pi(\frac{I_n}{4T})t-\frac{n\pi I_n}{2}+\theta_n \end{aligned}$$

带入到射频形式的表示中：

$$\begin{aligned} s_{MSK}(t)&=A\cos[2\pi f_ct+\phi(t;\boldsymbol{I})]\\[2ex] &=A\cos[2\pi(f_c+\frac{I_n}{4T})t-\frac{n\pi I_n}{2}+\theta_n] \end{aligned}$$

前面一节学的 FSK 的表示是：

$$s_m(t)=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{T}}\cos[2\pi f_ct+2\pi(m\Delta f)t]$$

比较之后能够注意到，对于$I_n=\pm 1$，$\Delta f=\frac{1}{4T}-(frac{-1}{4T})=\frac{1}{2T}$，满足正交条件，这是非常好的性质。这也就是为什么这个叫做最小频移键控。

# 偏移 QPSK OQPSK

前面一节也学了 QPSK，实际上 QPSK 也存在着相位跳变的问题 —— 观察 QPSK 的星座图，很明显如果两个 bit 数据同时改变，相位会跳变$\pi$，这明显会造成较大的旁瓣。

一个较为巧妙的方法就是偏移 QPSK（Offset Quadrature Phase Shift Keying，OQPSK）。

对于原先的 QPSK：

$$s_{QPSK}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}g(t-2nT)\cos(2\pi f_ct)-\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}g(t-2nT)\sin(2\pi f_ct)$$

在 I 或 Q 轴上引入$T$ 的时延，使得：

$$s_{QPSK}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}g(t-2nT)\cos(2\pi f_ct)-\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}g(t-(2n+1)T)\sin(2\pi f_ct)$$

这样，两个数据 bit 不会同时发生跳变，这样相位只会出现 90 度而不是 180 度的跳变，因此可以减少旁瓣。

# MSK 其实是 OQPSK 的特例

实际上，MSK 是 OQPSK 的特例。

不失一般性地，我们假设$\theta_0=\frac{\pi}{2}\sum_{k=-\infty}^{-1}I_k=0$，将$\phi(t;\boldsymbol{I})$ 带入 MSK 的等效低通信号：

$$\begin{aligned} s_{MSK,1}(t)&=e^{j\phi(t;\boldsymbol{I})}\\ &={\color{blue}e^{j\pi(\frac{I_n}{2T})t}}{\color{red}e^{-j\frac{n\pi}{2}I_n}}{\color{green}e^{j\frac{\pi}{2}\sum_{k=0}^{n-1}I_k}}\\ &={\color{blue}[\cos(\pi\frac{t}{2T})+jI_n\sin(\pi\frac{t}{2T})]}{\color{red}(-I_nj)^n}{\color{green}\prod_{k=0}^{n-1}(I_kj)}\\ &=I_n^n(-1)^n(j^{2n})\prod_{k=0}^{n-1}(I_k)\cos(\pi\frac{t}{2T})-I_n^{n+1}(-1)^{n+1}(j^{2n+1})\prod_{k=0}^{n-1}(I_k)\sin(\pi\frac{t}{2T})\\ &=\underbrace{I_n^n\prod_{k=0}^{n-1}(I_k)}_{J_n}\sin(\pi\frac{t-T}{2T})-j\underbrace{I_n^{n+1}\prod_{k=0}^{n-1}(I_k)}_{K_{n}}\sin(\pi\frac{t}{2T}) \end{aligned}$$

我们回头看 OQPSK 的形式：

$$s_{QPSK}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}g(t-2nT)\cos(2\pi f_ct)-\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}g(t-(2n+1)T)\sin(2\pi f_ct)$$

转为等效低通信号：

$$s_{QPSK,1}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}g(t-2nT)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}g(t-(2n+1)T)$$

如果我们带入特殊的脉冲整形函数

$$g(t)=\left\{ \begin{aligned} &\sin(\frac{\pi t}{2T})&,0\le t\le 2T\\ &0&,otherwise \end{aligned} \right.$$

那么我们得到

$$\begin{aligned} s_{QPSK,1}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}g(t-2nT)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}g(t-(2n+1)T)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}\sin(\frac{\pi t-2\pi n T}{2T})-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}\sin(\frac{\pi t-(2n+1)\pi T}{2T})\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}\sin(\frac{\pi t}{2T}-n\pi)-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}\sin(\frac{\pi (t-T)}{2T}-n\pi)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n}(-1)^n\sin(\frac{\pi t}{2T})-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}I_{2n+1}(-1)^{n}\sin(\frac{\pi (t-T)}{2T})\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\underbrace{I_{2n}(-1)^n}_{J_{n}'}\sin(\frac{\pi t}{2T})-j\sum_{n=-\infty}^{\infty}\underbrace{I_{2n+1}(-1)^{n+1}}_{K_{n}'}\sin(\frac{\pi (t+T)}{2T})\\ &t\in[2nT,2(n+1)T] \end{aligned}$$

可以看到 MSK 和 OQPSK 有着类似的形式，下面我们只要说明$J_n$ 是$J'_n$ 的一个特例、$K_n$ 是$K_n'$ 的一个特例（或者交换顺序），就足以说明 MSK 是 OQPSK 的特例。

观察$J_n$：

$$J_{n} = I_{n}^{n}\prod_{k=0}^{n-1}(I_k)$$

带入一组取值，有

$$\begin{aligned} J_{2m} &= I_{2m}^{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k) =\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k)\\ J_{2m+1} &= I_{2m+1}^{2m+1}\prod_{k=0}^{2m}(I_k) =I_{2m+1}\prod_{k=0}^{2m}(I_k) =I_{2m+1}I_{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k)\\ J_{2m+2} &= I_{2m+2}^{2m+2}\prod_{k=0}^{2m+1}(I_k) =I_{2m+1}I_{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k)\\ J_{2m+3} &= I_{2m+3}^{2m+3}\prod_{k=0}^{2m+2}(I_k) =I_{2m+3}\prod_{k=0}^{2m+2}(I_k) =I_{2m+3}I_{2m+2}I_{2m+1}I_{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k)\\ J_{2m+4} &= I_{2m+4}^{2m+4}\prod_{k=0}^{2m+3}(I_k) =I_{2m+3}I_{2m+2}I_{2m+1}I_{2m}\prod_{k=0}^{2m-1}(I_k)\\ ... \end{aligned}$$

因为$I_k$ 是双极性 PAM 信号，其偶数次方等于 1，因此能够消去。对于$K_n$，可以采用同样的方式进行处理。

从上面的式子可以看出，每一个取值都持续两个周期，这符合$OQPSK$ 的特点。因为${I_k}$ 为双极性 PAM 序列，这里的连乘形式实际上等于差分编码，因此可以说明$J_n$ 是$J'_n$ 的一个特例，$K_n$ 是$K_n'$ 的一个特例。

这样，我们可以证明 MSK 是 OQPSK 的特例。

# CPM 与 ASK 信号

Laurent 证明了在 CPM 中，如果$g(t)$ 是持续有限时间$LT$ 的信号，那么二进制 CPM 可以使用有限数量的 AM 脉冲信号的线性组合来表示。这能够为 CPM 的收发提供一个更加低廉的实现方式。

# 一个重要的转换公式

在证明 2-CPM 能够用 ASK 信号表示之前，我们首先给一个转换公式：

$$e^{jAI}=\frac{\sin(B-A)}{\sin B}+e^{jBI}\frac{\sin A}{\sin B}$$

这里的$I$ 为双极性 PAM 信号，$A$ 和$B$ 为两个不同的实常数。

这个公式允许我们改变指数上的参数，下面给出证明：

$$\begin{aligned} &\sin{B}\cdot e^{jAI}\\ =&\sin{B}\cdot[\cos A+jI\sin A]\\ =&\sin B\cos A+jI\sin B\sin A\\ =&\sin(B-A)+\cos B\sin A+jI\sin B\sin A\\ =&\sin(B-A)+\cos B\sin A+j\sin(BI)\sin A\\ =&\sin(B-A)+\sin A[\cos B+j\sin (BI)]\\ =&\sin(B-A)+\sin A\cdot e^{jBI}\\ \end{aligned}$$

# 费劲的证明

我们下面来开始证明。

首先对 2-CPM 的等效低通信号进行分析：

$$\begin{aligned} s_{bCPM,1}(t)&=e^{j\phi(t;\boldsymbol{I})}\\ &=e^{j(\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k+2\pi h\sum_{k=n-L+1}^{n}I_kq(t-kT))}\\ &=e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\cdot\prod_{k'=0}^{L-1}e^{j2\pi h I_{n-k'}q(t-(n-k')T)},\ (n-k'=k) \end{aligned}$$

令$B=\pi h$，利用上一节的转换公式，有：

$$\begin{aligned} &e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\cdot\prod_{k'=0}^{L-1}e^{j2\pi h I_{n-k'}q(t-(n-k')T)},\ (n-k'=k)\\ =&e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\cdot\prod_{k'=0}^{L-1}[\frac{\sin(B-2\pi hq(t-(n-k')T))}{\sin B}+e^{jBI_{n-k'}}\frac{\sin(2\pi hq(t-(n-k')T))}{\sin B}] \end{aligned}$$

定义

$$s_0(t)=\begin{cases} \cfrac{\sin(2\pi hq(t))}{\sin B},&0\le t<LT,\\[2ex] \cfrac{\sin(B-2\pi hq(t-LT))}{\sin B},&LT\le t<2LT,\\[2ex] 0,& otherwise \end{cases}$$

这里有一个很有意思的地方，注意$s_0(t)$ 的两端是存在一定的对称性的，可以带入验证一下。

将$s_0(t)$ 带入上面推到一半的等效低通形式的$2-CPM$ 表示：

$$\begin{aligned} &e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\cdot\prod_{k'=0}^{L-1}[\frac{\sin(B-2\pi hq(t-(n-k')T))}{\sin B}+e^{jBI_{n-k'}}\frac{\sin(2\pi hq(t-(n-k')T))}{\sin B}]\\ =&e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\prod_{k'=0}^{L-1}[\underbrace{s_0(t-(n-k')T+LT)}_{the\ second\ half} + e^{jBI_{n-k'}}\underbrace{s_0(t-(n-k')T)}_{the\ first\ half}] \end{aligned}$$

这里的$0\le t-(n-k')T<LT,LT\le t-(n-k')+LT\le 2LT$，上面标注的部分分别对应了$s_0(t)$ 的两个部分。

接下来需要处理这个累乘的部分，根据二项式定理，累乘部分展开共有$2^L$ 项。

我们观察上面的等式，注意到$s_0(t-(n-k')T)$ 和$s_0(t-(n-k')T+{\color{blue}LT})$ 中相差一个$LT$，我们采用下面的标识来记录这个差值：

$$a_{i,k'}=1\rightarrow s_0(t-(n-k')T+{\color{blue}LT})=s_0(t-(n-k')T+a_{i,k'}LT)\\[2ex] a_{i,k'}=0\rightarrow s_0(t-(n-k')T)=s_0(t-(n-k')T+a_{i,k'}LT)$$

通过一个序列$a_{i,k'},k'=0,1,...,L-1$，我们就能够唯一标识累乘展开中的一项。

将上面的累乘展开，得到：

$$\begin{aligned} &\prod_{k'=0}^{L-1}[s_0(t-(n-k')T+LT) + e^{jBI_{n-k'}}s_0(t-(n-k')T)]\\ =&(\underbrace{s_0(T-nT+0\cdot t+LT)}_{a_{i,0}=1}+e^{jBI_{n-0}}\underbrace{s_0(t-nT+0\cdot T)}_{a_{i,0}=0})\\ \times&(\underbrace{s_0(T-nT+1\cdot t+LT)}_{a_{i,1}=1}+e^{jBI_{n-1}}\underbrace{s_0(t-nT+1\cdot T)}_{a_{i,1}=0})\\ \times&(\underbrace{s_0(T-nT+2\cdot t+LT)}_{a_{i,2}=1}+e^{jBI_{n-2}}\underbrace{s_0(t-nT+2\cdot T)}_{a_{i,2}=0})\\ ...\\ \times&(\underbrace{s_0(T-nT+(L-1)\cdot t+LT)}_{a_{i,L-1}=1}+e^{jBI_{n-(L-1)}}\underbrace{s_0(t-nT+(L-1)\cdot T)}_{a_{i,L-1}=0})\\ =&\sum_{i=0}^{2^L-1}e^{jB\sum_{k'=0}^{L-1}(1-a_{i,k'})I_{n-k'}}\prod_{k'=0}^{L-1}s_0(t-nT+k'T+a_{i,k'}LT) \end{aligned}$$

将展开结果带入到前面低通信号的表示公式中：

$$\begin{aligned} &s_{bCPM,1}(t)\\ =&e^{j\pi h\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k}\sum_{i=0}^{2^L-1}e^{jB\sum_{k'=0}^{L-1}(1-a_{i,k'})I_{n-k'}}\prod_{k'=0}^{L-1}s_0(t-nT+k'T+a_{i,k'}LT)\\ =&\sum_{i=0}^{2^L-1}e^{j\pi h}(\sum_{k=-\infty}^{n-L}I_k+\sum_{k'=0}^{L-1}I_{n-k'}-\sum_{k'=0}^{L-1}a_{i,k'}I_{n-k'})\prod_{k'=0}^{L-1}s_0(t-nT+k'T+a_{i,k'}LT)\\ =&\sum_{i=0}^{2^L-1}\exp(j\pi h(\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{n}I_k-\sum_{k'=0}^{L-1}a_{i,k'}I_{n-k'}}_{\substack{A_{i,n}\\ Complex\ Amplitude}}))\underbrace{\prod_{k'=0}^{L-1}s_0(t-nT+k'T+a_{i,k'}LT)}_{\substack{c_i(t)\\ Pulse\ Shaping\ Function}}\\ =&\sum_{i=0}^{2^L-1}e^{j\pi hA_{i,n}}c_{i}(t-nT) \end{aligned}$$

其中

$$\begin{cases} A_{i,n}=\sum_{k=-\infty}^{n}I_k-\sum_{k'=0}^{L-1}a_{i,k'}I_{n-k'}\\[2ex] c_i(t)=\prod_{k'=0}^{L-1}s_0(t-nT+k'T+a_{i,k'}LT) \end{cases}$$

可以看到上面的低通信号被转换为了一个类似 ASK 的形式，不过其中的载波幅度$A_{i,n}$ 为一个复数而非实数，这相当于一个广义的 ASK。这样子，要实现一个 LT 的 2-CPM，我们可以用$2^L$ 条 ASK 线路来实现。这是一个比较有用的方法，因为调幅的成本要比其他调制方式低很多。不过缺憾还是挺明显的，按照现在的证明，我们需要$2^L$ 条线路，这在$L$ 比较大的情况下是不可行的。

更加深入的证明指出，实际我们只需要$2^{L-1}$ 条线路就可以实现这个 2-CPM，这个证明比较复杂，这里就不展开了。