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信号的矢量表示法是一个有效的信号分析工具。信号具有矢量的基本性质，一个信号集可以等效成一个矢量集。

# 矢量空间

# 表示

众所周知，nn 维空间内的一个矢量v⃗\vec{v}可以用其nn 个分量v1,v2,...,vnv_1,v_2,...,v_n 来表示。对于一个列矢量v⃗=[v1,v2,...,vn]T\vec{v}=[v_1, v_2, ...,v_n]^T，两个nn 维矢量的内积：

v1⃗=[v1,1,v1,2,...,v1,n]Tv2⃗=[v2,1,v2,2,...,v2,n]T<v1⃗,v2⃗>=v1⃗⋅v2⃗=∑i=1nv1,i⋅v2,i∗=v2⃗H⋅v1⃗(1.1)\vec{v_1}=[v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,n}]^T\\[2ex] \vec{v_2}=[v_{2,1},v_{2,2},...,v_{2,n}]^T\\[2ex] \tag{1.1}<\vec{v_1},\vec{v_2}>=\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}=\sum_{i=1}^{n}v_{1,i}\cdot v_{2,i}^*=\vec{v_2}^H\cdot\vec{v_1}

其中v2⃗H\vec{v_2}^H 表示v2⃗\vec{v_2} 的 Hermitian 转置，即先求转置再共轭。由内积的定义可以得到：

<v1⃗,v2⃗>=<v2⃗,v1⃗>∗(1.2)\tag{1.2}<\vec{v_1},\vec{v_2}> = <\vec{v_2},\vec{v_1}>^*

Proof

<v2⃗,v1⃗>∗=∑i=1n(v2,i⋅v1,i∗)∗=∑i=1nv2,i∗⋅v1,i=<v1⃗,v2⃗>\begin{aligned} &<\vec{v_2},\vec{v_1}>^*\\ =&\sum_{i=1}^n(v_{2,i}\cdot v_{1,i}^*)^*\\ =&\sum_{i=1}^{n}v_{2,i}^*\cdot v_{1,i}\\ =&<\vec{v_1},\vec{v_2}> \end{aligned}

（高中数学）

这样的话，由(1.2)(1.2) 式，我们能够得到：

<v1⃗,v2⃗>+<v2⃗,v1⃗>=2Re[<v1⃗,v2⃗>](1.3)\tag{1.3} <\vec{v_1},\vec{v_2}>+<\vec{v_2},\vec{v_1}> = 2{\rm Re}[<\vec{v_1},\vec{v_2}>]

一个矢量也可以表示成正交单位矢量或者标准正交基ei⃗,1≤i≤n\vec{e_i},1\le i\le n 的线性组合：

v⃗=∑i=1nviei⃗vi=<v⃗,ei⃗>(1.4)\tag{1.4} \vec{v}=\sum_{i=1}^n{v_i\vec{e_i}}\\[2ex] v_i=<\vec{v},\vec{e_i}>

两个矢量如果满足内积为 0，则这两个矢量正交。

# 矢量的性质

我们定义矢量的范数∣∣v⃗∣∣||\vec{v}|| 为

∣∣v⃗∣∣=<v⃗,v⃗>=∑i=1n∣vi∣2(1.5)\tag{1.5} ||\vec{v}||=\sqrt{<\vec{v},\vec{v}>}=\sqrt{\sum_{i=1}^n|v_i|^2}

这表示了一个矢量的长度。很明显矢量的长度满足下面的不等式：

  • 三角不等式

∣∣v1⃗+v2⃗∣∣≤∣∣v1⃗∣∣+∣∣v2⃗∣∣(1.6)\tag{1.6} ||\vec{v_1}+\vec{v_2}||\le||\vec{v_1}||+||\vec{v_2}||

  • Cauchy-Schwartz 不等式

∣<v1⃗⋅v2⃗>∣≤∣∣v1⃗∣∣⋅∣∣v2⃗∣∣(1.7)\tag{1.7} |<\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}>|\le||\vec{v_1}||\cdot||\vec{v_2}||

满足下面的等式：

∣∣v1⃗+v2⃗∣∣=∣∣v1⃗∣∣+∣∣v2⃗∣∣+2Re[<v1⃗,v2⃗>]||\vec{v_1}+\vec{v_2}||=||\vec{v_1}||+||\vec{v_2}||+2{\rm Re}[<\vec{v_1},\vec{v_2}>]

对于正交的一对向量v1⃗,v2⃗\vec{v_1},\vec{v_2}，满足勾股定理：

∣∣v1⃗+v2⃗∣∣2=∣∣v1⃗∣∣2+∣∣v2⃗∣∣2||\vec{v_1}+\vec{v_2}||^2=||\vec{v_1}||^2+||\vec{v_2}||^2

# Gram-Schmidt 正交化

Gram-Schmidt 正交化过程可以将一组nn 维矢量vi⃗,1≤i≤n\vec{v_i},1\le i\le n 转换成一组标准正交矢量。其过程如下：

  1. 选择矢量组中一个矢量v1⃗\vec{v_1}，将其长度归一化：

u1⃗=v1⃗∣∣v⃗∣∣\vec{u_1}=\frac{\vec{v_1}}{||\vec{v}||}

  1. 选择矢量组中另一个矢量v2⃗\vec{v_2}，减去其在向量u1⃗\vec{u_1} 上的投影：

u2′⃗=v2⃗−<v2⃗,u1⃗>u1⃗\vec{u_2'}=\vec{v_2}-<\vec{v_2},\vec{u_1}>\vec{u_1}

将其标准化：

u2⃗=u2′⃗∣∣u2′⃗∣∣\vec{u_2}=\frac{\vec{u_2'}}{||\vec{u_2'}||}

  1. 选择矢量组中另一个矢量v3⃗\vec{v_3}，减去其在向量u1⃗,u2⃗\vec{u_1},\vec{u_2} 上的投影：

u3′⃗=v3⃗−<v3⃗,u1⃗>u1⃗−<v3⃗,u2⃗>u2⃗\vec{u_3'}=\vec{v_3}-<\vec{v_3},\vec{u_1}>\vec{u_1}-<\vec{v_3},\vec{u_2}>\vec{u_2}

将其标准化：

u3⃗=u3′⃗∣∣u3′⃗∣∣\vec{u_3}=\frac{\vec{u_3'}}{||\vec{u_3'}||}

  1. 继续以此类推，直到所有向量处理完毕。

通过这个过程，可以构造出一组标准正交向量。

# 信号空间

与向量类似的，我们定义复信号x1(t)x_1(t) 与x2(t)x_2(t) 的内积：

<x1(t),x2(t)>=∫−∞∞x1(t)x2∗(t)dt(2.1)\tag{2.1} <x_1(t),x_2(t)>=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(t)x_2^*(t){\rm d}t

同样的，我们可以定义信号的范数：

∣∣x(t)∣∣=∫−∞∞∣x(t)∣2dt=Ex(2.2)\tag{2.2} ||x(t)||=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2{\rm d}t}=\sqrt{\mathcal{E}_x}

类似的，范数也适用正交、标准正交、线性独立的定义，符合三角不等式、Cauchy-Schwartz 不等式等。

# 信号的正交展开

对于一个有限能量的确定实信号s(t)s(t)

Es=∫−∞∞∣s(t)∣2dt(2.3)\tag{2.3} \mathcal{E}_s=\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^2{\rm d}t

存在一个标准正交函数集{ϕn(t),n=1,2,...,K}\{\phi_n(t),n=1,2,...,K\}，满足

<ϕm(t),ϕnt>=∫−∞∞ϕn(t)ϕm∗(t)dt={0,n≠m1,n=m(2.4)\tag{2.4} <\phi_m(t),\phi_n{t}> =\int_{-\infty}^{\infty}\phi_n(t)\phi_m^*(t){\rm d}t=\left\{\begin{aligned}0,&&n\neq m\\[2ex] 1,&&n=m \end{aligned}\right.

我们可以使用这些标准正交基的加权线性组合来近似表示s(t)s(t)：

s^(t)=∑i=1Ksiϕi(t)(2.5)\tag{2.5} \hat{s}(t)=\sum_{i=1}^{K}s_i\phi_i(t)

这会引入一定的误差，设误差

e(t)=s(t)−s^(t)(2.6)\tag{2.6} e(t)=s(t)-\hat{s}(t)

我们可以构造系数{sk}\{s_k\}，使得误差的能量Ee\mathcal{E}_e 最小：

Ee=∫−∞∞∣s(t)−s^(t)∣2dt=∫−∞∞∣s(t)−∑k=1Kskϕk(t)∣2dt(2.7)\tag{2.7} \begin{aligned} \mathcal{E}_e=&\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)-\hat{s}(t)|^2{\rm d}t\\[2ex] =&\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)|^2{\rm d}t \end{aligned}

接下来就是需要求出该系数，使得误差最小。

一种求解过程

在书中，给出了两种求解的思路。一种是利用基于均方误差准则的结论，当误差正交于级数展开式中的每一个函数时，可以获得误差的最小值。另一种思路则是直接对每一个系数进行微分，令一阶导数等于 0 从而求得极值。

这里给出第二种方法的证明。

我们现在需要使得Ee\mathcal{E}_e 最小，对于复参数sk=ak+jbks_k=a_k+jb_k，我们需要对其实部和虚部分别求导。

对于式(2.7)(2.7)，将其展开

∫−∞∞∣s(t)−∑k=1Kskϕk(t)∣2dt=∫−∞∞[s(t)−∑k=1Kskϕk(t)]⋅[s(t)−∑k=1Kskϕk(t)]∗ dt=∫−∞∞[s(t)−∑k=1Kskϕk(t)]⋅[s(t)−∑k=1Ksk∗ϕk∗(t)] dt=∫−∞∞s2(t)−s(t)∑k=1K(skϕk(t)+sk∗ϕk∗(t))+∑k=1Kskϕk(t)⋅∑k=1Ksk∗ϕk∗(t) dt(2.8.1)\tag{2.8.1} \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)|^2{\rm d}t\\[2ex] =&\int_{-\infty}^{\infty}[s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)]\cdot[s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)]^*\ {\rm d}t\\[2ex] =&\int_{-\infty}^{\infty}[s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)]\cdot[s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k^*\phi_k^*(t)]\ {\rm d}t\\[2ex] =&\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)-s(t)\sum_{k=1}^K(s_k\phi_k(t)+s_k^*\phi_k^*(t))+\sum_{k=1}^Ks_k\phi_k(t)\cdot\sum_{k=1}^Ks_k^*\phi_k^*(t)\ {\rm d}t \end{aligned}

因为

x+x∗=2Re[x]x+x^*=2{\rm Re}[x]

所以式(2.8.1)(2.8.1) 中第二项可以化为下面的形式：

s(t)∑k=1K(skϕk(t)+sk∗ϕk∗(t))=2s(t)∑k=1KRe[skϕk(t)]=2s(t)∑k=1KakRe[ϕk(t)]−bkIm[ϕk(t)](2.8.2)\tag{2.8.2} \begin{aligned} &s(t)\sum_{k=1}^K(s_k\phi_k(t)+s_k^*\phi_k^*(t))\\[2ex] =&2s(t)\sum_{k=1}^K{\rm Re}[s_k\phi_k(t)]\\[2ex] =&2s(t)\sum_{k=1}^Ka_k{\rm Re}[\phi_k(t)]-b_k{\rm Im}[\phi_k(t)] \end{aligned}

对于式(2.8.1)(2.8.1) 中第三项，带入上面式(2.4)(2.4)，可以得到

∑k=1Kskϕk(t)⋅∑k=1Ksk∗ϕk∗(t)=∑k=1Ksksk∗ϕk(t)ϕk∗(t)=∑k=1K∣∣sk∣∣2⋅∣∣ϕk(t)∣∣2=∑k=1Ka2+b2(2.8.3)\tag{2.8.3} \begin{aligned} &\sum_{k=1}^Ks_k\phi_k(t)\cdot\sum_{k=1}^Ks_k^*\phi_k^*(t)\\[2ex] =&\sum_{k=1}^Ks_ks_k^*\phi_k(t)\phi_k^*(t)\\[2ex] =&\sum_{k=1}^K||s_k||^2\cdot||\phi_k(t)||^2\\[2ex] =&\sum_{k=1}^Ka^2+b^2 \end{aligned}

这样，将式(2.8.2)(2.8.2) 和式(2.8.3)(2.8.3) 带入式(2.8.1)(2.8.1) 中，得到：

Ee=∫−∞∞∣s(t)−∑k=1Kskϕk(t)∣2dt=∫−∞∞s2(t)−2s(t)∑k=1K(akRe[ϕk(t)]−bkIm[ϕk(t)])+∑k=1K(a2+b2)dt(2.8.5)\tag{2.8.5} \begin{aligned} \mathcal{E}_e=&\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)-\sum_{k=1}^{K}s_k\phi_k(t)|^2{\rm d}t\\[2ex] =&\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)-2s(t)\sum_{k=1}^K(a_k{\rm Re}[\phi_k(t)]-b_k{\rm Im}[\phi_k(t)])+\sum_{k=1}^K(a^2+b^2){\rm d}t \end{aligned}

下面用sks_k 的实部和虚部分别进行微分。令

ddakEe=0⇒ddak∫−∞∞s2(t)−2s(t)∑k=1K(akRe[ϕk(t)]−bkIm[ϕk(t)])+∑k=1K(a2+b2)dt=0⇒∫−∞∞−2s(t)Re[ϕk(t)]+2akdt=0(2.8.6)\tag{2.8.6} \begin{aligned} &\frac{\rm d}{ {\rm d}a_k}\mathcal{E}_e=0\\[2ex] \Rightarrow &\frac{\rm d}{ {\rm d}a_k}\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)-2s(t)\sum_{k=1}^K(a_k{\rm Re}[\phi_k(t)]-b_k{\rm Im}[\phi_k(t)])+\sum_{k=1}^K(a^2+b^2){\rm d}t=0\\[2ex] \Rightarrow &\int_{-\infty}^{\infty}-2s(t){\rm Re}[\phi_k(t)]+2a_k{\rm d}t=0 \end{aligned}

类似的，对其虚部进行微分。

ddbkEe=0⇒ddbk∫−∞∞s2(t)−2s(t)∑k=1K(akRe[ϕk(t)]−bkIm[ϕk(t)])+∑k=1K(a2+b2)dt=0⇒∫−∞∞2s(t)Im[ϕk(t)]+2bkdt=0(2.8.7)\tag{2.8.7} \begin{aligned} &\frac{\rm d}{ {\rm d}b_k}\mathcal{E}_e=0\\[2ex] \Rightarrow &\frac{\rm d}{ {\rm d}b_k}\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)-2s(t)\sum_{k=1}^K(a_k{\rm Re}[\phi_k(t)]-b_k{\rm Im}[\phi_k(t)])+\sum_{k=1}^K(a^2+b^2){\rm d}t=0\\[2ex] \Rightarrow &\int_{-\infty}^{\infty}2s(t){\rm Im}[\phi_k(t)]+2b_k{\rm d}t=0 \end{aligned}

整合上式，可得

sk=ak+jbk=∫−∞∞s(t)ϕk∗(t)dts_k=a_k+jb_k=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)\phi_k^*(t){\rm d}t

即下式(2.8)(2.8)。

最终我们能够求出所需要的系数：

sn=<s(t),ϕn(t)>=∫−∞∞s(t)ϕn∗(t)dt(2.8)\tag{2.8} s_n=<s(t),\phi_n(t)> = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)\phi_n^*(t){\rm d}t

在误差为 0 的条件下，s(t)s(t) 可以被表示为

s(t)=∑k=1Kskϕk(t)(2.9)\tag{2.9} s(t)=\sum_{k=1}^Ks_k\phi_k(t)

如果任一个有限能量信号都能用式(2.9)(2.9) 展开，且误差为 0，那么称使用的标准正交函数集为完备的。一个例子是三角 Fourier 级数和指数 Fourier 级数。

# Gram-Schmidt 过程

类似于向量的 Gram-Schmidt 正交化，我们可以从一个有限能量信号集{sm(t),m=1,2,...,M}\{s_m(t),m=1,2,...,M\} 构造一个标准正交波形集。

对能量为E1\mathcal{E}_1 的函数s1(t)s_1(t)，构造

ϕ1(t)=s1(t)E1\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{\mathcal{E}_1}}

计算函数s2(t)s_2(t) 在函数ϕ1(t)\phi_1(t) 上的投影

c2,1=<s2(t),ϕ1(t)>=∫−∞∞s2(t)ϕ1∗(t)dtc_{2,1}=<s_2(t),\phi_1(t)> = \int_{-\infty}^{\infty}s_2(t)\phi_1^*(t){\rm d}t

减去投影分量

v2(t)=s2(t)−c2,1ϕ1(t)v_2(t)=s_2(t)-c_{2,1}\phi_1(t)

标准化

ϕ2(t)=v2(t)E2=v2(t)∫−∞∞v22(t)dt\phi_2(t)=\frac{v_2(t)}{\sqrt{\mathcal{E}_2}}=\frac{v_2(t)}{\int_{-\infty}^{\infty}v_2^2(t){\rm d}t}

以此类推，函数sk(t)s_k(t) 正交化得到

ϕk(t)=vk(t)Ek\phi_k(t)=\frac{v_k(t)}{\sqrt{\mathcal{E}_k}}

其中

vk(t)=sk(t)−∑i=1k−1ck,iϕi(t)Ek=∫−∞∞vk2(t)dtck,i=<sk(t),ϕi(t)>v_k(t)=s_k(t)-\sum_{i=1}^{k-1}c_{k,i}\phi_i(t)\\[2ex] \mathcal{E}_k=\int_{-\infty}^{\infty}v_k^2(t){\rm d}t\\[2ex] c_{k,i}=<s_k(t),\phi_i(t)>

在得到标准正交波形集{ϕn(t)}\{\phi_n(t)\} 之后，可以将MM 个信号{sm(t)}\{s_m(t)\} 表示成这些波形的组合：

sm(t)=∑n=1Nsmnϕn(t)s_m(t)=\sum_{n=1}^Ns_{mn}\phi_n(t)

这样可以使用一个矢量

sm⃗=[sm1,sm2,...,smn]\vec{s_m}=[s_{m1},s_{m2},...,s_{mn}]

来表示sm(t)s_m(t)，而这个矢量也对应了NN 维空间内的一个点。

这样，一个信号集{sm(t),m=1,2,...,M}\{s_m(t),m=1,2,...,M\} 可以用NN 维空间（N≤MN\le M）中的一组点来表示，这些也就是信号的空间表示或者所谓的星座图。

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