一开始也没想到自己还是选择走这条路…… 无线安全 / 通信安全可能算是网络安全比较困难的一个方向吧？

# 实带通信号的正负频谱

数字通信这里有一个挺重要的话，带通的实窄带高频信号可以用原带通信号的等效低通的复低频信号表示。 这也就让我们能够通过处理等效低通信号来处理带通信号，对于数字通信来说这是很重要的 —— 我们需要发送的基带信息序列一般不能直接在高频的信道上传输，而处理高频信号的困难程度高于处理低通信号。

一个实信号的 Fourier 变换具有 Hermitian 对称性$X(-f)=X^*(f)$（也就是共轭对称性），即：

$$\tag{1.1} \left|X(-f)\right|=\left|X(f)\right|\\[2ex] \angle X(-f)=-\angle X(f)$$

那么对于实信号$x(t)$，其 Fourier 变换$X(f)$ 的幅度偶对称，相位奇对称。

我们已经能够知道了，对于一个实信号，因为它的对称性，这个信号所有的信息都包含在了正频率或者负频率中。我们使用这个信号的一半就能够重构出整个原始信号。

定义信号的正频谱与负频谱：

$$\tag{1.2} X_+(f)=\left\{\begin{aligned} X(f),&&f>0\\ \frac{X(0)}{2},&&f=0\\ 0,&&f<0 \end{aligned}\right.\\[2ex] X_-(f)=\left\{\begin{aligned} X(f),&&f<0\\ \frac{X(0)}{2},&&f=0\\ 0,&&f>0 \end{aligned}\right.$$

如果采用单位阶跃函数$u(f)$ 的形式，正负频谱可以写成：

$$\tag{1.3} X_+(f)=X(f)u_{-1}(f)\\[2ex] X_-(f)=X(f)u_{-1}(f)\\[2ex] X(f)=X_+(f)+X_-(f)$$

其中$u_{-1}(f)$ 定义为：

$$\tag{1.4} u_{-1}(f)=\left\{\begin{aligned} 1,&&f>0\\ \frac{1}{2},&&f=0\\ 0,&&f<0 \end{aligned}\right.$$

# Hilbert 变换和带通信号的等效低通

一个信号$x(t)$ 的 Hilbert 变换$\hat{x}(t)$ 为$x(t)*h(t)$，$h(t)=\cfrac{1}{\pi t}$。

Hilbert 变换对原函数卷积一个函数$h(t)$，相当于在频域上乘以了$-j{\rm sgn}(f)$，也就是等于对正频率引入了$-\cfrac{\pi}{2}$ 的相移，对负频率引入了$\cfrac{\pi}{2}$ 的相移。

如果我们定义实信号$x(t)$ 的解析信号（预包络） 为$x_+(t)$，其 Fourier 变换为$X_+(f)$，因为解析信号仅包含正频率分量，因此这是一个复信号。

$$\tag{2.1} \begin{aligned} x_+(t)=&\mathcal{F}^{-1}[X_+(f)]\\ =&\mathcal{F}^{-1}[X(f)u_{-1}(f)]\\ =&x(t)*[\frac{1}{2}\delta(t)+j\frac{1}{2\pi t}]\\ =&\frac{1}{2}x(t)+\frac{j}{2}\hat{x}(t) \end{aligned}$$

注意频域上单位阶跃函数$u_{-1}(f)$ 的 Fourier 逆变换为$\frac{1}{2}\delta{t}+j\cfrac{1}{2\pi t}$。

这样这里的$\hat{x}(t)$ 是$x(t)$ 的 Hilbert 变换：

$$\tag{2.2} \mathcal{F}[\hat{x}(t)]=-j{\rm sgn}(f)X(f)$$

在这些的基础上，我们定义$x(t)$ 的等效低通（复包络） $x_1(t)$ 为频谱由$2X_+(f+f_0)$ 确定的信号：

$$\tag{2.3} X_1(f)=2X_+(f+f_0)=2X(f+f_0)u_{-1}(f+f_0)$$

这里$f_0$ 是信号的中心频率，实际可以根据情况进行选择，不同的$f_0$ 也会影响信号等效低通的表示形式。

展开等效低通的形式：

$$\tag{2.4} \begin{aligned} X_1(f)&=2X_+(f+f_0)\\ x_1(t)&=\mathcal{F}^{-1}[X_1(f)]\\ &=2x_+(t)e^{-j2\pi f_0t}\\ &=(x(t)+j\hat{x}(t))e^{-j2\pi f_0t} \end{aligned}$$

可以看出来这个信号是位于零频率附近的一个复信号，将式子用三角函数形式展开，可以得到：

$$\tag{2.5} x_1(t)=(x(t)\cos 2\pi f_0t+\hat{x}(t)\sin 2\pi f_0t)+j(\hat{x}(t)\cos 2\pi f_0t-x(t)\sin 2\pi f_0t)$$

原始的信号对应了其中实部的部分：

$$\tag{2.6} x(t)=Re[x_1(t)e^{j2\pi f_0t}]$$

如果带回$(2.3)$ 就能得到：

$$\tag{2.7} X(f)=\frac{1}{2}[X_1(f-f_0)+X_1^*(-f-f_0)]$$

回到刚才$x_1(t)$ 的展开式$(2.5)$，如果我们分别取出其实部和虚部，就得到了$x(t)$ 的同相分量$x_i(t)$ 和正交分量$x_q(t)$：

$$\tag{2.8} \begin{aligned} x_i(t)&=Re[x_1(t)]=x(t)\cos 2\pi f_0 t+\hat{x}(t)\sin 2\pi f_0 t\\ x_q(t)&=Im[x_1(t)]=\hat{x}(t)\cos 2\pi f_0 t-x(t)\sin 2\pi f_0 t \end{aligned}$$

这里$x_i(t)$ 与$x_q(t)$ 都是实低通信号，带回$x(t)$ 表示，有：

$$\tag{2.9} \left\{ \begin{aligned} x(t)&=x_i(t)\cos 2\pi f_0 t-x_q(t)\sin 2\pi f_0 t\\ \hat{x}(t)&=x_q(t)\cos 2\pi f_0 t+x_i(t)\sin 2\pi f_0 t \end{aligned} \right.$$

这个也就是带通信号的 I、Q 分量表示，也就是任何带通信号都可以有两个低通信号$(x_i(t),x_q(t))$ 表示。

如果我们将$x_1(t)=x_i(t)+jx_q(t)$ 转换成极坐标式的话，可以得到另一种表示：

$$\tag{2.10} r_x(t)=\sqrt{x_i^2(t)+x_q^2(t)}\\[2ex] \theta_x(t)=\arctan\frac{x_q(t)}{x_i(t)}$$

这里的$r_x(t)$ 是信号的包络，$\theta_x(t)$ 是信号的相位。

那么可以把信号的等效低通表示成下面的形式：

$$\tag{2.11} x_1(t)=r_x(t)e^{j\theta_x(t)}$$

如果带回式$(2.6)$，可以得到：

$$\tag{2.12} \begin{aligned} x(t)&=Re[r_x(t)e^{j(2\pi f_0t+\theta_x(t))}]\\ &=r_x(t)\cos[2\pi f_0t+\theta_x(t)] \end{aligned}$$

这里$(2.12)$ 最终的形式就是带通信号的包络、相位表示。